Nam punctis Page 110 P, F & N incidentibus in loca p, f & n axi AB quam proximis; ob æquales An, pn, recta nq, quæ ad arcum Ap perpendicularis est, adeoq; concurrit cum axe in puncto K, bisecat arcum Ap. Proinde est ½Ap ad Gn ut AK ad GK, & Ap ad Gn ut 2AK ad GK.
Est & Gn ad Gf ut EN ad EF, seu L ad CF, id est, ut {GK × AOq.} ÷ {2AS × OD} ad CF, seu GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, & ex æquo Ap ad Gf ut 2AK ad GK + GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, id est, ut AK × AOq. ad AS × OD × CF, hoc est, ob æqualia AK × AO × ODq. ut AO × OD ad AS × CF.
Proinde Ap × ½AS est ad Gf × ½GC ut AO × OD × AS ad AS × CF × GC, seu AO × OD ad CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO × OD ad CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius. Q. E. D.
Argumento prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus evanescentibus BSP, OCF: ideoq; locus puncti P prope Apsides satis accurate inventus est.
In quadraturis error quasi quingentesimæ partis areæ Ellipseos totius vel paulo major obvenire solet: qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem sequentem.
Por los puntos G, O, traza un arco circular GTO de la magnitud adecuada; después prolonga EF a ambos lados hasta T y N de modo que EN sea a FT como ½L a CF; y con centro en N y radio AN describe un círculo que corte la elipse en P, como se indicó arriba.
El arco GTO, por su parte, se determinara Page 111 buscando algún punto suyo T; el cual hará exacta la construcción en ese caso.
Si el eje transversal de la Elipse fuere mucho mayor que el lado recto, y se deseare el movimiento del cuerpo cerca del vértice de la Elipse (cuyo caso ocurre en la Teoría de los Cometas), se puede sacar desde el punto G una recta GI perpendicular al eje AB, y en aquella razón respecto a GK que tiene el área AVPS respecto al rectángulo AK × AS; y después, con el centro I y el intervalo AI, describir un círculo.
Pues este cortará la Elipse en el lugar buscado del cuerpo P con toda aproximación. Y por la misma construcción (mutatis mutandis) se resuelve el Problema en la Hipérbola. Estas construcciones, empero, se demuestran como arriba, y si la Figura (alejándose el vértice ulterior B al infinito) se convierte en Parábola, pasan a ser aquella construcción exacta del Problema XXII.