axis transversus Ellipseos circa corpus mobile descriptæ erit ad axem transversum descriptæ circa immobile, ut S + P ad primam duarum medie proportionalium inter S + P & S. Q. E. D. Page 167
Prop. LXI. Theor. XXIV.
* Si dos cuerpos que se atraen mutuamente mediante cualesquiera fuerzas, sin que ningún otro agente los mueva o impida, se mueven de cualquier manera; los movimientos de estos se comportarán exactamente igual que si no se atrajesen mutuamente, sino que cada uno fuera atraído por un tercer cuerpo situado en el centro de gravedad común mediante esas mismas fuerzas: Y la ley de las fuerzas atractivas será la misma con respecto a la distancia de los cuerpos a ese centro común que con respecto a la distancia total entre los cuerpos.
Pues aquellas fuerzas, con las que los cuerpos se atraen mutuamente, tendiendo hacia los cuerpos, tienden hacia el centro de gravedad intermedio común, y por tanto son las mismas que si manaran de un cuerpo intermedio. Q. E. D.
Et quoniam data est ratio distantiæ corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur ratio cujusvis potestatis distantiæ unius ad eandem potestatem distantiæ alterius; ut & ratio quantitatis cujusvis, quæ ex una distantia & quantitatibus datis utcunq; derivatur, ad quantitatem aliam, quæ ex altera distantia & quantitatibus totidem datis datamq; illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur.
Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quælibet hujus distantiæ potestas; vel deniq; ut quantitas quævis ex hac distantia & quantitatibus datis quomodocunq; derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi, vel ut eadem distantiæ hujus potestas, vel deniq; ut quantitas ex hac distantia & analogis quantitatibus datis similiter derivata.
Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex respectu distantiæ utriusq;.
Q. E. D.
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Prop. LXII. Prob. XXXVIII.
*Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, determinare motus.*
Los cuerpos, según el Teorema novísimo, se moverán del mismo modo que si fuesen atraídos por un tercer cuerpo situado en el centro de gravedad común; y dicho centro, al principio mismo del movimiento, estará en reposo (según la Hipótesis) y por tanto (según el Corol. 4 de las Leyes) estará siempre en reposo. Han de determinarse, por lo tanto, los movimientos de los cuerpos (según el Probl. XXV) del mismo modo que si fuesen impelidos por fuerzas tendentes a dicho centro, y así se tendrán los movimientos de los cuerpos que se atraen mutuamente.