Desde aquel punto A , con un hilo APT que iguale la longitud AR , deudasé un cuerpo T , y oscílese de tal manera dentro de las semicicloides AQ , AS , que cuantas veces el péndulo se aparta de la perpendicular AR , el hilo por su parte superior AP se aplique a aquella semicicloide APS hacia la cual se realiza el movimiento, y se flexe alrededor de ella a modo de obstáculo, y con la parte restante PT a la que todavía no se opone la semicicloide, se extienda en línea recta; y el peso T oscilará en la Cicloide dada QRS . Q. E. F.
Occurrat enim filum PT tum Cycloidi QRS in T, tum circulo QOS in V, agaturq; CV occurrens circulo ABD in B; & ad fili partem rectam PT, e punctis extremis P ac T, erigantur Page 151 perpendicula PB, TW, occurrentia rectæ CV in B & W.
Patet enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa PB, TW, abscindent de CV longitudines VB, VW rotarum diametris OA, OR æquales, atq; adeo quod punctum B incidet in circulum ABD.
Est igitur TP ad VP (duplum sinum anguli VBP existente ½BV radio) ut BW ad BV, seu AO + OR ad AO, id est (cum sint CA ad CO, CO ad CR & divisim AO ad OR proportionales,) ut CA + CO seu 2CE ad CA.
Proinde per Corol. 1. Prop. XLIX. longitudo PT æquatur Cycloidis arcui PS, & filum totum APT æquatur Cycloidis arcui dimidio APS, hoc est (per Corollar. 2. Prop. XLIX) longitudini AR. Et propterea vicissim si filum manet semper æquale longitudini AR movebitur punctum T in Cycloide QRS.
Q. E. D.
Corol. El hilo AR es igual a la mitad del arco cicloidal APS.
Prop. LI. Theor. XVIII.
*Si vis centripeta tendens undiq; ad Globi centrum*C*sit in locis singulis ut distantia loci cujusq; a centro, & hac sola vi agente Corpus*T*Page 152 oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis*QRS*: dico quod oscillationum utcunq; inæqualium æqualia erunt Tempora.*
Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX & jungatur CT.
Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C est ut distantia CT, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellendo corpus directe a P distendit filum PT & per cujus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV, WV iisq; proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est (per Corol. 1. Prop. XLIX.) ut longitudo arcus Cycloidis TR.
Siendo, pues, dos péndulos APT , Apt suspendidos desigualmente del péndulo perpendicular AR y soltados simultáneamente, las aceleraciones de ambos serán siempre como los arcos por describir TR , tR . Mas las partes descritas al principio son como las aceleraciones, esto es, como los todos por describir al principio, y por tanto las partes que restan por describir y las aceleraciones subsiguientes proporcionales a