Sect. II.

Cas. 2. Ponatur AB æquale G, & contenti ABC seu GC momentum (per Cas. 1.) erit gC + Gc, id est (si pro G & g scribantur AB & aB + Ab) aBC + AbC + ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunq;. Q. E. D.

Cas. 3. Sean A, B, C iguales; y el momento de A², esto es, del rectángulo AB, será aB + Ab = 2aA, mientras que el momento de A³, esto es, del contenido ABC, será aBC + AbC + ABc = 3aA². Y por el mismo argumento, el momento de cualquier potencia Aⁿ es naA^{n - 1}. Q. E. D.

Cas. 4. De ahí que, como 1 ÷ A en A sea 1, el momento de 1 ÷ A multiplicado por A, junto con 1 ÷ A multiplicado por a, será el momento de 1, es decir, nada. Por tanto, el momento de 1 ÷ A o A^-1 es -a ÷ A². Y en general, como 1 ÷ Aⁿ en Aⁿ sea 1, el momento de 1 ÷ Aⁿ multiplicado por Aⁿ junto con 1 ÷ Aⁿ por naA^{n - 1} será nada. Y por ello el momento de 1 ÷ Aⁿ o A^-n será -na ÷ A^{n + 1}.   Q. E. D.

Cas. 5. Y como A^½ en A^½ es A, el momento del propio A^½ en 2A^½ será a, por el Cas. 3: y por tanto el momento del propio A^½ será a ÷ 2A^½ o bien Page 253 2aA^-½.

Y en general, si se pone A^{m ÷ n} igual a B, A^m será igual a Bⁿ, y por tanto maA^{m - 1} igual a nbB^{n - 1}, y maA^-1 igual a nbB^-1 o sea nb ÷ A^{m ÷ n}, por lo cual {m ÷ n}aA^{(m-n) ÷ n} igual a b, esto es, igual al momento del propio A^{m ÷ n}. Q. E. D.

Cas. 6. Igitur Genitæ cujuscunq; A^m Bⁿ momentum est momentum ipsius A^m ductum in Bⁿ, una cum momento ipsius Bⁿ ducto in A^m, id est maA^{m - 1} + nbB^{n - 1}; idq; sive dignitatum indices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus.

Q. E. D.

Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut -2A, -B, D, 2E, 3F.

Corol. 2. Et si en cuatro proporcionales se dan las dos medias, los momentos de las extremas serán como las mismas extremas. Lo mismo ha de entenderse respecto a los lados de cualquier rectángulo dado.

Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.

# Escolio.

En las cartas que hace diez años intercambié con el perísimo geómetra G. G. Leibniz, al manifestarle que yo estaba en posesión de un método para determinar Máximos y Mínimos, trazar Tangentes y realizar operaciones similares, el cual procedía tanto con términos irracionales como racionales, y al ocultar esto mismo mediante letras transpositorias que envolvían esta sentencia [Dada una ecuación que envuelve cualesquiera cantidades fluentes, encontrar las fluxiones, y viceversa]: el Clarísimo Varón me respondió que él también había dado con un método de esta índole, y me comunicó su método, que apenas difiere del mío salvo en las fórmulas de las palabras y de los signos.

El fundamento de ambos se contiene en este Lema.