AEC eadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partes AE & EC sint ad invicem ut tempora inter observationes, V & W .
Ad AC bisectam in I erigantur perpendicula AM, CN, IO, quarum AM & CN sint tangentes latitudinum in observatione prima ac tertia ad radios TA & τα. Jungatur MN secans IO in O. Constituatur rectangulum iIλμ ut prius.
In IA producta capiatur ID æqualis Sμ + ⅔iλ, & agatur occulta OD.
Deinde in MN versus N capiatur MP, quæ sit ad longitudinem supra inventam X in dimidiata ratione mediocris distantiæ Telluris à Sole (seu semidiametri orbis magni) ad distantiam OD. Et in AC capiatur CG ipsi NP æqualis, ita ut puncta G & P ad easdem partes rectæ NC jaceant.
Eodem methodo qua puncta E, A, C, G, ex assumpto puncto B inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis b & β puncta nova e, a, c, g, & ε, α, κ, γ.
Deinde si per G, g, γ ducatur circumferentia circuli Ggγ secans rectam τC in Z: erit Z locus Cometæ in plano Eclipticæ.
Et si in AC, ac, ακ capiantur AF, af, αφ ipsis CG, cg, κγ respectivè æquales, & per puncta F, f, φ ducatur circumferentia circuli Ffφ secans rectam AT in X; erit punctum X alius Cometæ locus in plano Eclipticæ.
Ad puncta X & Z erigantur tangentes latitudinum Cometæ ad radios TX & τZ; & habebuntur loca duo Cometæ in orbe proprio.
Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilico S, per loca illa duo describatur Parabola, & hæc erit Trajectoria Cometæ. Q. E. I.
La demostración de esta construcción se deduce de los Lemas: puesto que la recta AC se corta en E en razón de los tiempos, por el Lema VIII; y BE (por el Lem. XI) sea la parte de la recta BS en el plano de la Eícliptica interpuesta entre el arco ABC y la cuerda AEG; y MP (por el Lem. VIII) sea la longitud de la cuerda del arco que el Cometa debe describir en su órbita propia entre la primera y la tercera observación, y por lo tanto hubiese sido igual a la misma MN, si tan solo B fuese el lugar verdadero del Cometa en el plano de la Eclíptica.
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Cæterum puncta B , b , β non quælibet, sed vero proxima eligere convenit. Si angulus AQt in quo vestigium orbis in plano Eclipticæ descriptum secabit rectam tB præterpropter innotescat, in angulo illo ducenda erit recta occulta AC , quæ sit ad 4 / 3 Tt in dimidiata ratione St ad SQ . Et agendo rectam SEB cujus pars EB æquetur longitudini Vt , determinabitur punctum B quod prima vice usurpare licet. Tum rectâ AC deletâ & secundum præcedentem constructionem iterum ductâ, & inventâ insuper longitudine MP ; in tB capiatur punctum b , ea lege, ut si TA , TC se mutuò secuerint in Y , sit distantia Yb ad distantiam YB in ratione composita ex ratione MN ad MP & ratione dimidiata SB ad Sb . Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium β; si modò operationem tertiò repetere lubet.