ciertas series, pero solo ciertas series (siendo la en cuestión un caso claro), se aprovechan del rango indefinido para seguir produciendo en él individuos cuya desviación respecto al promedio anterior no tiene ningún límite finito en absoluto. Bien visto, es un problema muy sencillo, pero ha dado lugar, en un momento u otro, a no poca confusión y perplejidad.
El problema puede plantearse así:—se lanza una moneda al aire; si sale cara, recibo una libra; si sale cara dos veces seguidas, dos libras; si sale cara tres veces seguidas, cuatro libras, y así sucesivamente; la cantidad a recibir se duplica cada vez que sale una nueva cara.
Es decir, he de continuar mientras siga saliendo una sucesión de caras, considerar esta sucesión como un «turno» o serie, y luego tomar otro turno, y así sucesivamente; y por cada uno de dichos turnos he de recibir un pago; entendiéndose que la aparición de cruz no produce nada, de hecho, siendo omitida de nuestra consideración.
Por muchas veces que salga cara de forma consecutiva, el número de libras que puedo reclamar se halla elevando dos a una potencia menor en una unidad que ese número de veces.
He aquí, pues, una serie formada por una sucesión de tiradas. Suponemos —lo que muchos consideran susceptible de demostración, y lo que la experiencia ciertamente confirma dentro de límites considerables— que la rareza de estas «rachas» de una misma cara guarda proporción directa con la cantidad que recibo por ellas cuando efectivamente ocurren. En otras palabras, si consideramos únicamente las ocasiones en las que recibo pagos, hallaremos que una de cada dos veces recibo una libra, una de cada cuatro veces dos libras, una de cada ocho veces cuatro libras, y así sucesivamente sin fin.
Se formula entonces la pregunta: ¿cuánto debo pagar por este privilegio? A riesgo de anticipar ligeramente los resultados de un capítulo posterior, podemos suponer que esto equivale a preguntar: ¿qué cantidad pagada cada vez me dejaría, en promedio, sin ganar ni perder?
En otras palabras, ¿cuál es la cantidad promedio que debería recibir bajo las condiciones anteriores?
La teoría dictamina que debería dar una suma infinita; es decir, ninguna suma finita, por grande que sea, sería un equivalente adecuado. Y esto resulta bastante comprensible.
Tengo ante mí una serie de longitud indefinida, y cuanto más tiempo continúe trabajándola, más cuantiosas serán mis ganancias, y esto sin límite alguno. Es verdad que las capturas muy abundantes son extremadamente raras, pero aun así ocurren, y cuando ocurren lo compensan con su mayor riqueza.
En cada ocasión en que las personas se han entregado a la búsqueda en cuestión, conocieron, por supuesto, tan solo una porción limitada de esta serie; pero la serie en la que basamos nuestro cálculo es ilimitada; y las deducciones que se suelen extraer en cuanto a la suma que a la larga debe pagarse por el privilegio en cuestión están en perfecta consonancia con este supuesto.
La forma común de objeción se presenta en la réplica de que, lejos de pagar una suma infinita, ningún hombre sensato daría nada que se acerque a 50 libras por semejante oportunidad. Probablemente no, porque ningún hombre vería lo suficiente de la serie como para que le valga la pena. En lo que la mayoría de las personas basan su opinión práctica es en aquellas pequeñas porciones de la serie que realmente han visto o pueden esperar razonablemente.