y = h / √π e − h 2 x 2 . En lenguaje técnico, lo que tenemos que hacer es determinar el módulo de esta ecuación. La cantidad 1 / h en la expresión anterior se llama módulo. Mide el grado de contracción o dispersión en torno a la media indicado por esta ecuación. Cuando es grande, la dispersión es considerable; es decir, las magnitudes no se agrupan estrechamente hacia el centro; cuando es pequeño, sí se agrupan de ese modo. Cuanto menor sea el módulo en la curva que representa la densidad con la que los impactos de bala se agruparon en torno al centro de la diana, mejor será el tirador.
§ 9. Hay varias maneras de determinar el módulo.
En el primero de los casos analizados más arriba, en el que nuestro conocimiento teórico es completo, somos capaces de calcularlo à priori a partir de nuestro conocimiento de las probabilidades. Naturalmente, adoptaríamos este método si estuviéramos lanzando un buen puñado de monedas.
El plan habitual à posteriori, cuando tenemos las medidas de las magnitudes u observaciones ante nosotros, es el siguiente:—Tómese la media cuadrática de los errores y duplíquese; el resultado da el cuadrado del módulo. Supóngase, por ejemplo, que tuviésemos las cinco magnitudes, 4, 5, 6, 7, 8. La media de estas es 6: los «errores» son respectivamente 2, 1, 0, 1, 2. Por lo tanto, el «módulo al cuadrado» es igual a 10/5; es decir[ TN: space] el módulo es √2. Si las magnitudes hubiesen sido 2, 4, 6, 8, 10; representando la misma media (6) que antes, pero mostrando una mayor dispersión en torno a ella, el módulo habría sido mayor, a saber[ TN: space] √8 en lugar de √2.
El método del Sr. Galton es de naturaleza más gráfica. Se describe en un artículo sobre estadística por intercomparación (Phil.[ TN: space] Mag.[** TN: space] 1875), y en otros lugares. Puede indicarse del siguiente modo. Supongamos que estuviéramos tratando con un gran número de medidas de la estatura humana, y concebimos que todas las personas en cuestión fueran alineadas en el orden de su altura. Seleccione la altura media, marcada por el hombre central de la fila. Supongamos que este mide 69 pulgadas. Luego, eleve (o baje) la escala desde este punto hasta que se sitúe a tal altura como para incluir justamente a la mitad de los hombres por encima (o por debajo) de la media. (En la práctica se descubriría que esto requiere unas 1.71 pulgadas: es decir, un cuarto de cualquier grupo numeroso de dichos hombres se encontrará entre las 69 y las 70.71 pulgadas). Divida este número por 0.4769 y obtendremos el módulo. En el caso en cuestión sería igual a unas 3.6 pulgadas.
Bajo el supuesto con el que empezamos, a saber,[** TN: space] que la ley de errores se manifiesta en la forma binomial habitual, o en alguna forma aproximada a esta, los tres métodos indicados más arriba coincidirán en su resultado. Cuando haya alguna duda al respecto, o cuando no nos sintamos capaces de calcular de antemano cuál será la tasa de dispersión, debemos adoptar el segundo plan para determinar el módulo. Este es el único modo de cálculo universalmente aplicable: de hecho, que deba arrojar el módulo es una verdad por definición; pues al determinar el error cuadrático medio no estamos haciendo en realidad otra cosa que determinar el módulo, tal como se señaló en el último capítulo.
§ 10. La posición a la que hemos llegado ahora es la siguiente. Dando por sentado que la Ley de Errores adoptará la forma simbólica expresada por la ecuación y = h / √π e − h 2 x 2 , disponemos de reglas con las que se puede determinar h . Por lo tanto, para los fines en cuestión, lo sabemos todo acerca de la curva de frecuencias: podemos trazarla en papel; dado un valor —digamos el central—, podemos determinar