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Debo declararme culpable de este mismo cargo en la primera edición de esta obra. El resultado fue hacer que el tratamiento de esta parte del tema fuera oscuro e imperfecto, y en ciertos aspectos erróneo.
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La forma algebraica generalizada de este resultado es la siguiente. Sea p la probabilidad a priori de un suceso, y x la credibilidad del testigo. Entonces, si afirma que el suceso ocurrió, la probabilidad de que realmente haya ocurrido es
mientras que si afirma que no ocurrió, la probabilidad de que haya ocurrido es
Para ilustración de algunas observaciones que se harán en breve, el lector notará que, al hacer cualquiera de estas expresiones = p, obtenemos en cada caso x = 1/2. Es decir, un testigo cuya veracidad = 1/2 deja la probabilidad à priori de un acontecimiento (de esta clase) inalterada.
Si, por el contrario, hacemos que estas expresiones sean iguales a x y 1 − x respectivamente, obtenemos en cada caso p = 1/2. Es decir, cuando un suceso (de esta clase) tiene tantas probabilidades de ocurrir como de no hacerlo, la veracidad ordinaria del testigo respecto al mismo permanece inalterada.
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History de Todhunter, p. 400. Philosophical Magazine, julio de 1864.
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“Cuando, por tanto, estas dos clases de experiencia son contrarias, no tenemos más remedio que restar la una de la otra, y adoptar una opinión, ya sea de un lado o del otro, con la seguridad que resulta del resto”. (Ensayo sobre los milagros).
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Consideraciones de este género se han introducido de hecho en el tratamiento matemático del asunto.
La solución algebraica común del problema en el § 5 (para empezar por el caso más sencillo) es por supuesto la siguiente. Sea p la probabilidad antecedente del evento, y t la medida de la veracidad del testigo; entonces la probabilidad de que su afirmación sea verdadera es pt/pt + (1 − p)(1 − t). Esto supone que miente tanto cuando el evento no ocurre como cuando ocurre.
Pero podemos abordar los casos supuestos en el texto asumiendo que t′ es la medida de su veracidad cuando el evento no ocurre, de modo que la fórmula anterior se convierte en pt/pt + (1 − p)(1 − t′). Aquí t′ y t miden respectivamente su confiabilidad en eventos usuales e inusuales. Como solución formal, esto ciertamente responde a las objeciones expuestas más arriba en los §§ 14 y 15.
Sin embargo, la determinación de t′ exigiría, como he señalado, un recurso continuamente renovado a la experiencia. En cualquier caso, los métodos prácticos que se adoptarían, si se recurriera a planes del tipo indicado más arriba, me parece que difieren mucho de los adoptados por los matemáticos, tanto en su espíritu como en su plan.