Ahora supongamos que tomamos 1000 dígitos de estos en lugar de 10. No podemos decir nada más sobre el número mayor, con certeza demostrativa, de lo que podíamos decir antes sobre el menor. Si al principio fuesen desiguales (es decir, si no fuesen todos iguales), entonces el promedio debe ser intermedio, pero más que esto no puede probarse aritméticamente. En comparación con tales consideraciones puramente aritméticas, existe lo que puede llamarse un hecho físico que subyace a nuestra confianza en la creciente estabilidad del promedio del número mayor. Es que los elementos constitutivos de los que se deduce el promedio mostrarán por sí mismos una uniformidad creciente: que las proporciones en las que salen los diferentes dígitos se volverán más y más casi iguales a medida que tomemos mayores cantidades
de ellos. Si las proporciones en las que se distribuyeron los 1000 dígitos fueren las mismas que las de los 10, los promedios serían los mismos. Es obvio, por lo tanto, que el proceso aritmético de obtener un promedio contribuye muy poco a asegurar el sorprendente tipo de uniformidad que encontramos que se presenta en la realidad.
§ 20. Hay otra manera de expresar la misma cosa. A veces se dice que, cualquiera que haya sido la disposición de los elementos originales, el proceso de promediación continua producirá necesariamente la peculiar ley binomial o exponencial de disposición. Esta afirmación es perfectamente verdadera (con ciertas salvedades), pero no se opone en absoluto a lo que se ha dicho más arriba.
Tomemos en consideración el ejemplo al que nos referimos antes. La disposición de los dígitos individuales a la larga es la más simple posible. No estaría representada en un diagrama por una curva, sino por una línea recta finita, ya que cada dígito aparece casi con la misma frecuencia que cualquier otro, y esto agota toda la «disposición» que puede detectarse.
Ahora bien, cuando consideramos los resultados de tomar los promedios de diez de tales dígitos, vemos inmediatamente que hay cabida para una disposición más extensa. Los totales pueden oscilar desde 0 hasta 100, y por lo tanto el promedio tendrá 100 valores desde 0 hasta 9; y lo que encontramos es que la frecuencia de estos números está determinada según la ley binomial[5] o exponencial. El resultado más frecuente es la media verdadera, a saber, 4,5, y a partir de esta disminuyen en ambas direcciones hacia el 0 y el 10, los cuales ocurrirán cada uno solo una vez (en promedio) en 1010 ocasiones.
La explicación que aquí se ofrece es del mismo tipo que en el caso anterior. La disposición resultante, en lo que respecta a los promedios, solo es «necesaria» en el sentido de que es un resultado necesario de ciertas suposiciones o experiencias físicas. Si todos los dígitos tienden a ocurrir con igual frecuencia, y si son «independientes» (es decir,[ TN: space] si cada uno se asocia indiferentemente con cualquier otro), entonces constituye una consecuencia aritmética que los promedios, cuando se ordenan según su magnitud y frecuencia, mostrarán la Ley de Facilidad antes indicada. La experiencia, en la medida en que se puede apelar a ella, muestra que la verdadera aleatoriedad en la selección de los dígitos —es decir,[ TN: space] su recurrencia igualmente frecuente y la imparcialidad de su combinación— está bastante bien garantizada en la práctica. En consecuencia, la deducción teórica de que, cualquiera que haya sido la Ley de Facilidad original de los resultados individuales, siempre encontraremos que la conocida Ley Exponencial se impone como la ley de los promedios, está bastante justificada por la experiencia en tal caso.