8
Estamos considerando aquí, recuérdese, el caso de una cantidad finita de estadísticas; de modo que existen límites reales en cada extremo.
9
Hay que admitir que la experiencia todavía no ha (creo yo) mostrado esta asimetría respecto a las alturas.
10
El razonamiento anterior será probablemente aceptado como válido en esta etapa de la investigación. Pero, en rigor, aquí se hacen suposiciones que, por muy justificables que sean en sí mismas, implican una cierta anticipación. Exigen, y en un capítulo futuro recibirán, un examen y una crítica más minuciosos.
11
Un ejemplo numérico concreto de este tipo de concentración de la frecuencia en torno a la media se dio en la nota del § 4. Era de forma binomial, consistente en los términos sucesivos del desarrollo de (1 + 1)m.
Ahora bien, puede demostrarse (Quetelet, Letters, p. 263; Liagre, Calcul des Probabilités, § 34) que el desarrollo de dicha binomial, a medida que m se hace indefinidamente grande, se aproxima en su límite a la forma exponencial; es decir, si tomamos un número de ordenadas equidistantes proporcionales respectivamente a 1, m, m(m − 1)/1·2, etc., y conectamos sus vértices, la figura que obtenemos representa de forma aproximada alguna forma de la curva y = Ae−hx2, y tiende a volverse idéntica a ella a medida que m aumenta sin límite.
En otras palabras, si suponemos que los errores son producidos por un número limitado de causas finitas, iguales e independientes, tenemos una aproximación a la Ley Exponencial de los Errores, la cual se funde en la identidad a medida que las causas aumentan en número y disminuyen en magnitud sin límite. Jevons ha proporcionado (Principles of Science, p. 381) un diagrama dibujado a escala para mostrar cuán rápida es esta aproximación.
Un punto debe recordarse cuidadosamente aquí, ya que a menudo se pasa por alto (por Quetelet, por ejemplo). Los coeficientes de un binomio de dos términos iguales —como (1 + 1)m, en el párrafo precedente— son simétricos en su disposición desde el principio y muy rápidamente se vuelven indistinguibles en su contorno (gráfico) de la forma exponencial final.
Pero si, por otra parte, hubiéramos de considerar los términos sucesivos de un binomio tal como (1 + 4)m (que son proporcionales a las probabilidades relativas de 0, 1, 2, 3, … fallos en m empresas, de un suceso que tiene una probabilidad a favor frente a cuatro en contra), tendríamos una sucesión asimétrica. Si, sin embargo, suponemos que m aumenta sin límite, como en la suposición anterior, la asimetría desaparece gradualmente y tendemos exactamente hacia la misma forma exponencial que si hubiéramos comenzado con dos términos iguales. La única diferencia es que la posición del vértice de la curva ya no está en el centro: en otras palabras, el término o suceso más probable no es un número igual de aciertos y fallos, sino aciertos y fallos en la proporción de 1 a 4.
12