Ahora bien, en cualquier porción de este tipo, digamos una que abarque 100 tiradas, la sucesión más larga de caras no ascendería en promedio a más de siete u ocho. Esto se observa, pero se olvida que la fórmula que las produjo, si tuviera mayor alcance, seguiría produciendo otras cada vez mejores sin límite alguno. De ahí surge que algunas personas se sientan perplejas, porque la conducta que adoptarían respecto a la porción acortada de la serie con la que es probable que se encuentren en la práctica, no encuentra su justificación en inferencias que se basan necesariamente en la serie en la plenitud de su infinitud.
§ 16. Esto se verá con mayor claridad si consideramos las diversas posibilidades, y el margen requerido para agotarlas, cuando nos limitamos a un número limitado de tiradas. Comencemos con tres. Esto produce ocho posibilidades igualmente probables. En cuatro de estos casos, el lanzador comienza con cruz y por lo tanto pierde: en dos gana un solo punto (es decir, 1 £); en uno gana dos puntos, y en uno gana cuatro puntos. Por lo tanto, siendo su ganancia total de ocho libras lograda en cuatro contingencias diferentes, su ganancia media sería de dos libras.
Ahora supóngase que se le permite llegar hasta n tiradas, de modo que tenemos que contemplar 2n posibilidades. Todas ellas han de ser tenidas en cuenta si deseamos considerar lo que sucede por término medio. Se verá fácilmente que, una vez que se hayan contabilizado todos los casos posibles, su ganancia total será (calculada en libras),
Al estar esto repartido en 2n−1 ocasiones diferentes de ganancia, su ganancia media será 1/2(n + 1).
Ahora bien, cuando nos referimos a promedios debe recordarse que el número mínimo de ocurrencias diferentes necesario para justificar el promedio es aquel que permite que cada una de ellas se presente una vez. Un hombre se propone detenerse tras una sucesión de diez caras. Bien y bueno. Le decimos que su ganancia promedio será de £5.[ TN: space] 10s.[ TN: space] 0d.: pero también le recalcamos que para justificar esta afirmación debe empezar a lanzar al menos 1024 veces, pues en ningún número menor pueden exhibirse y equilibrarse todas las contingencias de ganancia y pérdida. Si se propone alcanzar una ganancia promedio de £20, necesitará estar preparado para llegar hasta 39 lanzamientos. Para justificar este pago debe empezar a lanzar 239 veces, %[ TN: British million] es decir,[ TN: space] cerca de un billón de veces. Solo después de haber logrado esto estará en condiciones de demostrar a cualquier escéptico que este es el verdadero valor promedio de un «turno» que abarque 39 lanzamientos sucesivos.
Por supuesto, si decide lanzar la moneda por toda la eternidad, debemos adoptar la línea de explicación que es la única posible cuando se trata de cuestiones de infinito respecto al número y a la magnitud. No podemos decirle que pague «una suma infinita», ya que esto no tiene un sentido estricto. Pero le decimos que, por mucho que consienta en pagar cada vez que salgan rachas de caras, alcanzará por fin una etapa en la oficina en la que habrá recuperado sus pagos totales con sus cobros totales. Por muy grande que sea n, si persiste en intentarlo 2n veces, puede llegar a tener un cobro medio real de 1/2 (n + 1) libras, y si continúa avanzando el tiempo suficiente, lo tendrá.
El problema volverá a considerarse en un capítulo futuro.
1 Las siguientes estadísticas darán una idea justa del amplio margen de experiencia en el que se comprueba la existencia de dicha regularidad: