Podemos proceder del siguiente modo. Tomemos una hoja del papel rayado ordinario preparado para la representación gráfica de curvas. Seleccionemos como punto de partida la intersección de dos de estas líneas y consideremos los ocho «puntos cardinales» indicados por estas líneas y las bisecciones de los ángulos rectos comprendidos.[5]
Para sugerir la selección aleatoria entre estas direcciones, numerémoslas del 0 al 7, y digamos que una línea medida estrictamente hacia el «norte» será designada por la cifra 0, el «noreste» por el 1, y así sucesivamente. La selección entre estos números, y por tanto entre las direcciones, en cada esquina, podría encomendarse a un dado de ocho caras; pero para el propósito de la ilustración que tenemos en vista, seleccionamos los dígitos del 0 al 7 tal como se presentan en el valor calculado de . El tipo de trayectoria por el cual deberíamos avanzar mediante una serie de tales pasos dados así al azar puede concebirse fácilmente; se ofrece al final de este capítulo.
Para el propósito con el que se propuso esta ilustración, viz.[** TN: space] la representación gráfica de la sucesión de dígitos en cualquiera de las constantes inconmensurables de la aritmética o la geometría, lo anterior puede bastar. Tras comprobar efectivamente algunas de ellas de este modo, me parece, en la medida en que el ojo, o los principios teóricos que se mencionarán a continuación, sirvan de guía, que responden bastante bien a la descripción de aleatoriedad.
§ 16. Como estamos en el tema, sin embargo, parece oportuno ir más allá indagando cuán cerca podríamos llegar del ideal de aleatoriedad de dirección. Para llevar esto a cabo por completo, deben hacerse dos mejoras. Por un lado, en lugar de limitarnos a ocho direcciones, debemos admitir un número infinito. Esto no presentaría gran dificultad; pues en lugar de emplear un número pequeño de dígitos, tendríamos que usar simplemente algún tipo de perinola circular que descansara indiferentemente en cualquier dirección. Pero, en segundo lugar, en lugar de pasos finitos cortos, debemos suponerlos indefinidamente cortos. Es aquí donde se hace sentir la inalcanzabilidad real.
Estamos bastante familiarizados con el recurso, empleado por Newton, de pasar del polígono discontinuo a la curva continua. Pero podemos recurrir a este recurso porque el ideal, a saber,[** TN: space] la curva, se dibuja con tanta facilidad (y, me atrevería a decir, se concibe o imagina con tanta facilidad) como cualquiera de los pasos que nos conducen a ella. Pero en el caso que tenemos ante nosotros ocurre de otro modo. La línea en cuestión seguirá siendo discontinua, o más bien angulosa, hasta el final: pues sus ángulos no tienden siquiera a perder su agudeza, aunque los fragmentos que los componen aumenten en número y disminuyan en magnitud sin límite alguno. Y tal ideal no es concebible como un ideal.
Es como si tuviéramos un cuerpo rugoso bajo el microscopio, y descubriéramos que al someterlo a potencias cada vez mayores no había ninguna tendencia a que los ángulos se redondearan. Nuestra «línea aleatoria» debe seguir siendo tan «espinosa» como siempre, aunque el tamaño de sus espinas, por supuesto, disminuya sin límite alguno.