En consecuencia, construimos un dado cuyas caras son exactamente iguales, y se observa que podemos hacer casi lo que queramos con este, en cualquier fase previa a su salida del cubilete sobre la mesa, sin interferir en la naturaleza aleatoria del resultado.
§ 6. II. Otra característica en la que la concepción científica me parece apartarse de la significación popular o original es la siguiente. El área de distribución que tenemos en cuenta debe ser finita o limitada. La necesidad de esta restricción puede no ser obvia a primera vista, pero la consideración de uno o dos ejemplos servirá para indicar el punto en el que se hace sentir. Supongamos que a uno le pidieran elegir un número al azar, no de un rango finito, sino de las inexhaustibles posibilidades de la numeración. En el sentido popular del término,—es decir, de pronunciar un número sin detenerse a elegir—, no hay dificultad. Pero un momento de reflexión mostrará que ninguna disposición que tienda siquiera hacia una distribución en última instancia uniforme puede garantizarse de este modo. Ningún promedio podría establecerse con una firmeza cada vez mayor. Lo mismo ocurre con el infinito espacial. Podemos hablar racionalmente de elegir un punto al azar en una línea recta, área o volumen dados. Pero si suponemos que la línea no tiene fin, o que la selección se realiza en el espacio infinito, la base de la tendencia última hacia lo que puede llamarse el depósito igualmente denso de nuestros puntos aleatorios nos falla por completo.
Del mismo modo, en cualquier otro ejemplo en el que una de las magnitudes sea ilimitada. Supongamos que arrojo un bastón al azar en un plano horizontal contra una hilera de rejas de hierro y pregunto por la probabilidad de que pase a través de ellas sin tocarlas. El problema guarda cierta analogía con el de las piezas de ajedrez, y en lo que respecta al movimiento de traslación del bastón (si empezamos por este), no presenta ninguna dificultad. Pero en cuanto a la rotación, la situación es distinta. Para cualquier velocidad lineal asignada hay una cierta velocidad angular por debajo de la cual el bastón puede pasar sin contacto, pero por encima de la cual no puede hacerlo. Y dado que el primer rango es limitado y el segundo ilimitado, nos encontramos con la misma imposibilidad que antes al intentar concebir una distribución uniforme. Por supuesto, podríamos eludir esta dificultad en particular comenzando con una estimación de la velocidad angular, momento en el cual tendríamos que repetir lo que acaba de decirse, mutatis mutandis, con respecto a la velocidad lineal.
§ 7. Soy por supuesto consciente de que hay una variedad de problemas actuales que parecen entrar en conflicto con lo que acaba de decirse, pero todos ellos se prestarán a una explicación. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que tres líneas rectas, tomadas o trazadas al azar, sean de longitudes tales que permitan formar un triángulo?
Hay dos formas en las que podemos considerar el problema. Por un lado, podemos partir del supuesto de tres líneas no mayores que cierta longitud n, y luego determinar hacia qué límite tiende la probabilidad a medida que n aumenta sin cesar.
O bien, podemos sostener que la cuestión es meramente de proporción relativa de las tres líneas. Podemos entonces partir de cualquier magnitud que nos plazca para representar una de las líneas (por simplicidad, digamos, la mayor de ellas), y considerar que todas las formas posibles de un triángulo estarán representadas variando las longitudes de las otras dos.
En cualquiera de los dos casos obtenemos un resultado definido sin necesidad de intentar concebir ninguna selección aleatoria a partir del infinito de las longitudes posibles.