E, en nuestra nueva disposición, puede alcanzarse de dos maneras, a saber,[ TN: space] por su repetición doble (lo que ocurrirá 100 veces) y por su obtención como el punto medio entre D y F (lo que ocurrirá 90 veces). De ahí que E ocurra 190 veces en total.
El lector que decida tomarse la molestia puede calcular de este modo la frecuencia de todas las apariciones posibles, y si el objetivo fuera simplemente ilustrar el principio de acuerdo con el cual se producen, este podría ser el mejor procedimiento. Pero como pronto podrá observar, y como el matemático podría demostrar de inmediato, la nueva «ley de facilidad de error» puede obtenerse con mayor rapidez por vía deductiva, a saber[** TN: space]tomando los términos sucesivos del desarrollo de (1 + 1)20. Vienen dados, debajo de la línea, en la figura de la p. 476.
§ 13. Existen dos obstáculos aparentes para cualquier comparación directa entre la distribución del antiguo conjunto de observaciones simples y el nuevo conjunto de las combinadas o reducidas. En primer lugar, el número de estas últimas es mucho mayor. Esto, sin embargo, se soluciona fácilmente reduciéndolas ambas a la misma escala, es decir, haciendo que el número total de cada una sea el mismo. En segundo lugar, la mitad de las nuevas posiciones no tienen representantes entre las antiguas, a saber[ TN: space] aquellas que se encuentran a mitad de camino entre F y E, E y D, y así sucesivamente. Esto puede resolverse mediante el procedimiento habitual de interpolación, a saber[ TN: space] rellenando dichos huecos mediante una estimación de cuál habría sido el número en los puntos faltantes, a la misma escala, de haber estado ocupados. Trace una curva a través de los vértices de las ordenadas en A, B, C, etc., y las longitudes de las ordenadas en los puntos intermedios representarán de manera muy razonable la frecuencia correspondiente de los errores de esas magnitudes respectivamente. Cuando los huecos se rellenan de este modo, y los números se reducen así a la misma escala, disponemos de una base de comparación perfectamente justa. (Véase la figura de la página siguiente.)
De igual manera podríamos proceder a agrupar o «reducir» tres observaciones, o cualquier número mayor. El número de agrupamientos posibles naturalmente se vuelve mucho mayor, siendo (1024)3 cuando se toman de tres en tres. Tan pronto como llegamos a tres o más observaciones, tenemos (como ya se ha señalado) una variedad de modos posibles de tratamiento o reducción, de los cuales el de tomar la media aritmética no es más que uno.
§ 14. La figura siguiente tiene por objeto ilustrar la naturaleza de la ventaja que se asegura al tomar así la media aritmética de varias observaciones.
La curva ABCD representa la disposición de un número dado de «errores» supuestos distribuidos según la ley binomial ya mencionada, cuando los ángulos se han suavizado trazando una curva a través de ellos. A′CD′ representa la disposición similar del mismo número cuando no se dan como errores simples, sino como promedios de pares de errores. A″BD″, a su vez, representa la disposición similar obtenida como promedios de errores tomados de tres en tres. Están dibujadas a escala con tanto cuidado como el pequeño tamaño de la figura lo permite.