arbitrariamente. Concebida entonces la situación de que tuviéramos ante nosotros una varilla o línea y deseáramos medirla con absoluta precisión. Debemos suponer —si hemos de tener un análogo adecuado para la determinación de con varios cientos de cifras— que, mediante la aplicación de un poder de aumento continuamente mayor, podemos detectar subdivisiones cada vez más finas en la graduación. Colocamos nuestra varilla contra la escala y hallamos, por ejemplo, que cae entre 31 y 32 pulgadas; luego observamos la siguiente división de la escala, a saber,[** TN: space] la de décimas de pulgada. ¿Podemos ver la más mínima razón por la cual el número de estas décimas deba ser distinto e independiente del número de pulgadas enteras? El «pedazo sobrante» que estamos midiendo puede considerarse, de hecho, como un pedazo completamente nuevo, que cayera en nuestras manos después de que el de 31 pulgadas hubiera sido medido y descartado; y de manera similar con cada pedazo sobrante sucesivo, a medida que avanzamos hacia las divisiones cada vez más finas.
Observaciones similares pueden hacerse sobre la mayoría de las otras cantidades incomensurables, como las raíces irreducibles.
Imagínense dos líneas rectas en ángulo recto, y que medimos un cierto número de pulgadas a lo largo de cada una de ellas desde el punto de intersección; digamos dos y cinco pulgadas, y unimos los extremos de estas de modo que formemos la diagonal de un triángulo rectángulo. Si procedemos a medir esta diagonal en función de cualquiera de las otras líneas, estaremos, a todos los efectos prácticos, extrayendo una raíz cuadrada.
Deberíamos esperar, más bien al contrario, encontrar aquí, como en el caso de π, que la incomensurabilidad y el aparente desorden resultante en los dígitos eran la regla, y la conmensurabilidad, la excepción. De vez en cuando, como cuando los dos lados fueran tres y cuatro, hallaríamos que la diagonal es conmensurable con ellos; pero estas serían las excepciones ocasionales, o más bien las excepciones comparativamente finitas en medio de los casos indefinidamente numerosos que constituían la regla.
§ 15. La mejor manera tal vez de ilustrar el carácter verdaderamente aleatorio de una