(3) Finalmente, sacamos conclusiones similares en referencia a la suma o diferencia de dos medias de cualesquiera números. Supongamos,
por ejemplo, que primero se tomaron m errores y se promediaron, y luego n tomados de manera similar y promediados. Estas medias serán casi, pero no del todo, iguales. Su suma o diferencia —estas, por supuesto, son indistinguibles al final, ya que se supone que los errores positivos y negativos son iguales y opuestos— será en sí misma un «error», cada magnitud del cual tendrá una cierta probabilidad o facilidad de ocurrencia asignable. Lo que hacemos es asignar el módulo de estos errores. El resultado real es nuevamente simple. Si c hubiese sido el módulo de los errores individuales, el de la suma o diferencia de las medias de m y n de ellos será
§ 20. Hasta ahora, el problema bajo investigación ha sido de tipo directo. Hemos supuesto que el valor medio último o la posición central nos han sido dados; ya sea à priori (como en muchos juegos de azar), o a partir de consideraciones físicas más inmediatas (como al apuntar a un blanco), o a partir de estadísticas extensas (como en las tablas de estatura humana). En todos estos casos, por lo tanto, el desideratum principal ya se da por sentado, y puede preguntarse razonablemente qué queda por hacer. Las respuestas son diversas. Por un lado, podemos querer estimar el valor de un promedio de muchos en comparación con el promedio de unos pocos. Supongamos que un hombre ha recopilado estadísticas que incluyen 1000 casos, y otro ha recopilado 4000 casos similares. El sentido común puede reconocer que los últimos son mejores que los primeros; pero no tiene idea de cuánto mejores son. Aquí, como en todas partes, la precisión cuantitativa es el privilegio de la ciencia. La respuesta que recibimos de este sector es que, a la larga, el módulo —y con este el error probable, el error medio y el error cuadrático medio, que varían todos en proporción— disminuye
inversamente a la raíz cuadrada del número de mediciones u observaciones. (Esto se deduce de la segunda de las fórmulas anteriores). En consecuencia, el error probable de la estadística más extensa aquí es la mitad que el de la menos extensa. Tomemos otro ejemplo. La observación muestra que «la estatura media de 2315 delincuentes difiere de la estatura media de 8585 miembros de la población adulta general en aproximadamente dos pulgadas» (v.[ TN: space] Edgeworth, Methods of Statistics: *Stat.[ TN: space] Soc.[ TN: space] Journ.*[ TN: space] 1885). Como antes, el sentido común albergaría pocas dudas de que tal diferencia era significativa, pero no podría dar una estimación numérica de dicha significación. Al recurrir a la ciencia, vemos que esto es una ilustración de la tercera de las fórmulas anteriores. Lo que realmente queremos saber son las probabilidades en contra de que los promedios de dos grandes lotes difieran en una cantidad asignada: en este caso, en una cantidad igual a veinticinco veces el módulo de la cantidad variable. Las probabilidades en contra de esto son de muchos billones a uno.
§ 21. El número de problemas directos que de este modo admitirán solución es muy grande, pero debemos limitarnos aquí al problema inverso principal al cual la discusión anterior sirve de preliminar. Es el siguiente. Dados tan solo unos pocos de uno de estos grupos de mediciones u observaciones; ¿qué podemos hacer con ellos para determinar esa media alrededor de la cual terminarían por agruparse?
Dado un gran número de ellos, revelarían la posición de su centro definitivo con una certeza cada vez mayor; pero ahora suponemos que solo disponemos de unos pocos, digamos media docena, y que por el momento no tenemos la facultad de aumentar el número.