En otras palabras,—expresándonos con la ayuda de una ilustración gráfica, que es tal vez el mejor método para el novato y para el estudiante lógico,—en el problema directo simplemente tenemos que trazar la curva de frecuencia a partir del conocimiento de sus elementos determinantes; a saber[ TN: space]: la posición del centro y el valor numérico del módulo. En el problema inverso, por otra parte, tenemos tres elementos al menos por determinar. Pues no solo debemos, (1), como antes, determinar dónde puede suponerse que se encuentra el centro; y (2), como antes, determinar el valor del módulo o grado de dispersión en torno a este centro. Esto no completa nuestro conocimiento. Puesto que ninguno de estos dos elementos se asigna con certeza, necesitamos lo que siempre se requiere en la teoría de las probabilidades, a saber[ TN: space]: alguna estimación de su verdad probable. Es decir, tras hacer la mejor asignación posible en cuanto al valor de estos elementos, necesitamos también asignar numéricamente el «error probable» cometido en dicha asignación. Nada más que esto puede alcanzarse en la probabilidad, pero nada menos que esto debe anteponérsenos.
§ 22. (1) En cuanto a la primera de estas cuestiones, la respuesta es muy sencilla. Ya sea que el número de mediciones u observaciones sea pequeño o grande, debemos partir del supuesto de que su promedio es el punto que buscamos; es decir, que el promedio de unas pocas coincidirá con el promedio definitivo. Esta es la mejor, de hecho la única hipótesis que podemos hacer. Debemos adoptar este plan, por supuesto, en el caso extremo de que solo tengamos un valor ante nosotros, limitándonos a tomar ese único valor; y nuestra confianza aumenta lentamente a medida que aumenta el número de valores ante nosotros. La única diferencia, por tanto, entre el conocimiento que se apoya en tales datos y el conocimiento que se apoya en datos completos, no radica en el resultado obtenido, sino en la confianza con la que lo sostenemos.
§ 23. (2) En cuanto a la segunda cuestión, a saber,[ TN: space] la determinación del módulo o grado de dispersión respecto de la media, puede decirse más o menos lo mismo. Es decir, adoptamos la misma regla para la determinación del E.C.M. (error cuadrático medio) mediante el cual se asigna el módulo, que adoptaríamos si poseyéramos información completa. O más bien nos vemos limitados a una de las reglas dadas en la pág. 473, a saber,[ TN: space] la segunda, pues por hipótesis no tenemos ni el conocimiento à priori que permitiría suministrar la primera, ni un número suficiente de observaciones para justificar la tercera. Es decir, calculamos los errores, medidos a partir del promedio, y calculamos su cuadrado medio: el doble de este es igual al cuadrado del módulo de la curva de probabilidad de errores.[8]
§ 24. (3) La tercera cuestión exige para su resolución matemáticas algo avanzadas; pero los resultados pueden indicarse sin mucha dificultad. Una forma popular de plantear nuestro requisito sería decir que queremos saber qué probabilidad hay de que la media de los pocos datos que así hemos aceptado coincida con la verdadera media. Pero esto sería hablar con imprecisión, pues las probabilidades son, por supuesto, infinitamente grandes en contra de una coincidencia tan precisa. Lo que realmente hacemos es asignar el «error probable»; es decir, fijar un límite que sea tan probable que la discrepancia entre la media inferida y la media verdadera lo supere como que no.[9]
Para poner un ejemplo numérico: supongamos que hubiéramos hecho varias mediciones de un muro con una cinta métrica, y que el promedio de estas fuera de 150 pies. El topógrafo escrupuloso nos daría este resultado, añadiendo alguna corrección del tipo: «error probable: 3 pulgadas». Todo lo que esto significa es que podemos suponer que el valor verdadero es de 150 pies, con la confianza de que en la mitad de los casos (de esta índole) en que lo hagamos, estaremos realmente a menos de tres pulgadas de la verdad.