Así pues, en lo que se denomina el «problema de los tres puntos»: se seleccionan al azar tres puntos en el espacio; hallar la probabilidad de que formen un triángulo acutángulo. Lo que se hace es partir de un volumen cerrado —digamos una esfera, por su mayor simplicidad—, hallar la probabilidad (bajo el supuesto de una distribución uniforme dentro de este volumen); y luego concebir la ampliación continua e indefinida de esta esfera. Así considerado, el problema es perfectamente coherente e inteligible, aunque no alcanzo a ver por qué debería denominarse una selección al azar en el espacio en lugar de en una esfera. Por supuesto, si partiéramos de un volumen diferente, digamos un cubo, obtendríamos un resultado distinto; y por ello se sostiene (p. ej.[ TN: espacio] por el Sr. Crofton en el Educational Times, como ya se ha mencionado) que el espacio infinito debe considerarse de manera más natural y apropiada como el límite hacia el que tiende la ampliación de una esfera que la de un cubo o cualquier otra figura.
Nuevamente: se toma un grupo de enteros al azar; demuéstrese que el número así tomado tiene más probabilidades de ser impar que par.
Lo que hacemos al responder a esto es comenzar con cualquier número finito n, y demostrar que de todas las combinaciones posibles que pueden hacerse dentro de este rango hay más impares que pares. Puesto que esto es verdad independientemente de la magnitud de n, tendemos a hablar como si pudiéramos concebir que la selección se hace al azar de entre la verdadera infinidad contemplada en la numeración.
§ 8. Cuando estas condiciones no pueden garantizarse, me parece que el intento de asignar cualquier valor finito a la probabilidad fracasa. Por ejemplo, en el siguiente problema, propuesto por el Sr. J. M. Wilson: «Se trazan tres líneas rectas al azar en un plano infinito, y se traza una cuarta línea al azar de modo que las interseque: hállese la probabilidad de que pase a través del triángulo formado por las otras tres» (Ed.[ TN: space] Times, Reprint, Vol. V.[** TN: space] p. 82), él ofrece la siguiente
solución: «De las cuatro líneas, dos deben pasar y dos no deben pasar por el interior del triángulo formado por las tres restantes. Puesto que todas se trazan al azar, la probabilidad de que la última trazada pase a través del triángulo formado por las otras tres es por consiguiente 1/2».
Cito esta solución porque me parece que ilustra la dificultad a la que quiero llamar la atención.
Tal como está redactado el problema, se supone que un triángulo queda determinado por tres líneas rectas. Por muy grande que sea, su tamaño no guarda ninguna proporción finitaria en absoluto con el área infinitamente mayor que lo rodea; y, hasta donde puedo darle una interpretación comprensible a tal suposición, la probabilidad de trazar una cuarta línea aleatoria que resulte intersecar esta área finita debe calcularse como cero.
El problema que el Sr. Wilson ha resuelto me parece enteramente distinto, a saber:[** TN: space] «Dadas cuatro líneas rectas que se cortan, hallar la probabilidad de que seleccionemos, al azar, una que pase a través del triángulo formado por las otras tres».
La misma dificultad me parece surgir en la mayoría de los demás intentos de aplicar esta concepción de la aleatoriedad a la infinitud real. Lo siguiente parece ser un análogo exacto del problema anterior:—Se selecciona un número al azar, hállese la probabilidad de que otro número seleccionado al azar sea mayor que el primero;—la respuesta sin duda debe ser que la probabilidad es la unidad, es decir,[ TN: space] la certeza, porque el intervalo por encima de cualquier número asignado es infinitamente mayor que el que está por debajo