cualquier otro modo similar de tratar con los errores individuales. No se puede dar aquí una prueba estricta de este hecho, pero una referencia a uno de los resultados familiares de tomar combinaciones de cosas mostrará de dónde surge esta tendencia. Los resultados extremos, tal como los produce un promedio de cualquier tipo, solo pueden obtenerse de un modo, a saber, mediante repeticiones de extremos en los individuos a partir de los cuales se obtuvieron los promedios. Pero los resultados intermedios se pueden alcanzar de dos modos, a saber, bien mediante individuos intermedios, o bien mediante combinaciones de individuos en direcciones opuestas. En el caso de la Ley Binomial de Error, esta tendencia a engrosar hacia el centro ya predominaba fuertemente en los valores individuales antes de que los tomáramos en nuestras manos para nuestro promedio; pero debido a esta característica de las combinaciones podemos establecer (a grandes rasgos) que cualquier tipo de promedio aplicado a cualquier tipo de ley de distribución dará un resultado que guarda la misma relación general con los valores individuales que las líneas de puntos de arriba guardan con la línea negra.[6]
§ 18. Siendo esto así, las ventajas especulativas de un método para combinar, promediar o reducir nuestras observaciones frente a otro método —es decir, independientemente de las conveniencias prácticas para llevarlos a cabo— consistirán únicamente en el grado de rapidez con el que tiende a agrupar de este modo el resultado en torno al centro. Tendremos que someter este mérito a un análisis algo más exhaustivo, pero para el propósito actual bastará con decir que si un tipo de promedio diera la línea punteada superior en la figura de la pág. 479 y otro diera la línea punteada inferior, diríamos que el primero es el mejor. La ventaja es del mismo tipo general que la proporcionada en el cálculo algebraico por una serie que converge rápidamente hacia el verdadero valor en comparación con una que converge lentamente. Podemos realizar el trabajo tarde o temprano con la ayuda de cualquiera de los dos; pero nos acercamos más a la verdad con la misma cantidad de trabajo, o nos acercamos igual con una menor cantidad de trabajo, con un plan que con el otro.
Como aquí estamos considerando el caso en el que se supone que las observaciones individuales están agrupadas de acuerdo con la Ley Binomial, bastará con decir que en este caso no cabe duda de que la media aritmética no sólo es la más simple y fácil de tratar, sino que también es la mejor en el sentido antedicho del término. Y dado que esta Ley Binomial, o algo que se le aproxima, tiene una prevalencia muy amplia, se presenta un sólido argumento primâ facie en favor del empleo general del conocido promedio.
§ 19. El análisis de unas páginas atrás llevó los resultados del proceso de promediación hasta donde se pudo hacer convenientemente con la ayuda de la mera aritmética. Para ir más allá debemos recurrir a las matemáticas superiores, pero la siguiente indicación del tipo de resultados obtenidos bastará para nuestro propósito actual. Después de todo, los pasos sucesivos, aunque exigen un razonamiento intrincado para su demostración, no son más que generalizaciones de procesos que podrían establecerse mediante una aritmética simple.[7]
Brevemente, lo que hacemos es lo siguiente:—
(1) Primero extendemos la demostración de la forma binomial, con su número finito de elementos, a la forma límite o exponencial. En lugar de limitarnos a un pequeño número de errores discretos, reconocemos entonces la posibilidad de cualquier número de errores de cualquier magnitud que sea.
(2) En segundo lugar, en vez de limitarnos a considerar el promedio de dos o tres únicamente —lo cual ya es, como hemos visto, una tediosa operación aritmética—, calculamos el resultado del promedio de cualquier número, n. El resultado real es sumamente sencillo. Si el módulo de los errores individuales es c, el del promedio de n de estos será c ÷ √n.