Podríamos haber encontrado entonces conveniente adoptar algún plan de aproximación sucesiva, añadiendo un tercer o cuarto «medio». Así como asignamos el valor medio de la magnitud y su desviación media respecto a este valor medio, podríamos tomar este error medio (comoquiera que se determine) como un nuevo punto de partida y asignar la desviación media respecto a él. Si el punto mereciera mayor discusión, podríamos ilustrar fácilmente por medio de un diagrama el tipo de aproximaciones sucesivas que tales indicaciones proporcionarían en cuanto a la forma última de la Curva de Facilidad o Ley de Errores.
Como este volumen está escrito principalmente para aquellos que se interesan en las cuestiones lógicas implicadas, más que como una introducción a los procesos reales de cálculo, se han evitado en lo posible los detalles matemáticos a lo largo de toda la obra. Por esta razón se han hecho comparativamente pocas referencias a la ecuación exponencial de la Ley de Errores, o a la «integral de probabilidad» correspondiente, cuyas tablas se dan en varios manuales sobre el tema. Hay dos puntos, sin embargo, en relación con estos temas particulares acerca de los cuales muchos estudiantes experimentan —o deberían experimentar— dificultades, de modo que aquí podemos ocuparnos de ellos.
(1) En cuanto a la expresión algebraica ordinaria para la ley de error, a saber,[ TN: space] y = h/√π e−h2x2, se habrá observado que siempre me he refererido a y como proporcional al número de errores de la magnitud particular x. Apenas sería correcto decir, en absoluto, que y representa ese número, porque, por supuesto, el número real de errores de cualquier magnitud precisa, cuando se asume la continuidad de la posibilidad, debe ser indefinidamente pequeño. Si por lo tanto queremos pasar de lo continuo a lo discreto, determinando el número real de errores entre dos divisiones consecutivas de nuestra escala, cuando, como es habitual en las mediciones, todos los que se encuentran dentro de ciertos límites se refieren a un punto preciso, debemos modificar nuestra fórmula. De acuerdo con la notación diferencial habitual, debemos decir que el número de errores que caen en una subdivisión (dx) de nuestra escala es dx h/√π e−h2x2, donde dx es una unidad de longitud (pequeña), en la cual deben medirse tanto h−1 como x.
La dificultad que experimentan la mayoría de los estudiantes consiste en aplicar la fórmula a estadísticas reales, en otras palabras, en introducir las unidades correctas. Para tomar un ejemplo numérico real, supóngase que se ha medido a 1460 hombres en cuanto a su estatura «con una precisión de hasta la pulgada más cercana», y supóngase que se sabe que el módulo en este caso es de 3.6 pulgadas.
Entonces dx = 1 (pulgada); h−1 = 3.6 pulgadas. Ahora bien
∑h/√πe−h2x2 dx = 1;
es decir, la suma de todos los valores posibles consecutivos es igual a la unidad. Cuando, por lo tanto, queremos que la suma, como aquí, sea 1460, debemos expresar la fórmula de este modo;—
y = 1460/√π × 3.6 e−(x/3.6)2, o y = 228e−(x/3.6)2.
Aquí x representa el número de pulgadas medido a partir de la altura central o media, e y representa el número de hombres referidos a dicha altura en nuestra tabla estadística. (Los valores de e−t2 para valores sucesivos de t se dan en los manuales.)