El lector percibirá mediante un acto de comparación casi instantáneo que las palabras Roma y Mora contienen las mismas letras. Tal vez pueda ver de un vistazo si ocurre lo mismo con Causal y Casual , y con Logica y Caligo . Para asegurarse de que las letras de Astronomers forman No more stars , de que Serpens in akuleo es un anagrama de Joannes Keplerus , o Great gun do us a sum un anagrama de Augustus de Morgan , sin duda le será necesario dividir el acto de comparación en varios actos sucesivos. El proceso adquirirá un carácter doble y consistirá en comprobar que cada letra del primer grupo se encuentra entre las letras del segundo grupo, y viceversa , que cada letra del segundo se encuentra entre las del primer grupo. Del mismo modo, solo podemos demostrar que dos listas largas de nombres son idénticas mostrando que cada nombre de una lista aparece en la otra, y viceversa .
Este proceso de comparación consiste en realidad en establecer dos identidades parciales que, como ya se ha demostrado (p. 58), son equivalentes en conjunto a una identidad simple. Primero constatamos la verdad de las dos proposiciones A = AB, B = AB, y luego ascendemos por sustitución a la ley única A = B.
Existe otro procedimiento, es verdad, mediante el cual podemos llegar exactamente al mismo resultado; pues las dos proposiciones A = AB, a = ab también son equivalentes a la simple identidad A = B.
Si entonces podemos demostrar que todos los objetos incluidos bajo A están incluidos bajo B, y también que todos los objetos no incluidos bajo A no están incluidos bajo B, habremos logrado nuestro propósito.
Mediante este procedimiento compararíamos habitualmente dos listas si se nos permite marcarlas. Por cada nombre en la primera lista tacharíamos uno en la segunda, y si, cuando la primera lista se agota, la segunda lista también se agota, se deduce que todos los nombres ausentes de la primera deben estar ausentes de la segunda, y la coincidencia debe ser completa.
Estos dos modos de demostrar una identidad están tan estrechamente emparentados que resulta dudoso hasta qué punto podemos detectar alguna diferencia en sus capacidades y casos de aplicación.
El primer método es tal vez más conveniente cuando los fenómenos que deben compararse son raros. Así, demostramos que todas las concordancias musicales coinciden con todas las razones numéricas más simples, mostrando que cada concordancia surge de una razón simple de ondulaciones, y mostrando después que cada razón simple da lugar a una de las concordancias. Examinar todos los casos posibles de discordancia o de razón compleja de ondulación sería imposible.
Mediante un feliz golpe de inducción, sir John Herschel descubrió que todos los cristales de cuarzo que hacen girar el plano de polarización de la luz son precisamente aquellos cristales que poseen caras plagiédricas, es decir, caras oblicuas en las esquinas del prisma asimétricas respecto a las caras ordinarias. Esta singular relación se demostraría observando que todos los cristales plagiédricos poseían el poder de rotación y, vice versâ, todos los cristales que poseían este poder eran plagiédricos. Pero al mismo tiempo podría observarse que todos los cristales ordinarios carecían de dicho poder.
No hay razón para que no detectemos cualquiera de las cuatro proposiciones A = AB, B = AB, a = ab, b = ab, todas las cuales se deducen de A = B (p. 115).
A veces los términos de la identidad pueden ser objetos singulares; así observamos que el diamante es una gema combustible, y al no poder descubrir ninguna otra que lo sea, afirmamos—