Calculamos los valores de factoriales infinitamente numerosos, no obteniendo sin embargo sus productos reales, lo que llevaría a un número infinito de cifras, sino obteniendo la respuesta final al problema mediante artificios que solo pueden comprenderse tras el estudio del cálculo integral.
Debe admitirse que la hipótesis adoptada por Laplace es en cierto grado arbitraria, por lo que hubo cierto margen para la duda que Boole ha arrojado sobre ella.19 Pero puede replicarse: (1) que la suposición de un número infinito de bolas tratadas a la manera de Laplace es menos arbitraria y más abarcadora que cualquier otra que pueda sugerirse; (2) que el resultado no difiere gran cosa del que se obtendría bajo la hipótesis de cualquier número finito grande de bolas; y (3) que la suposición conduce a una serie de fórmulas sencillas que pueden aplicarse con facilidad en muchos casos, y que presentan toda la apariencia de la verdad en la medida en que esta puede ser juzgada de manera independiente por un entendimiento sano y experimentado.
Reglas del Método Inverso.
Mediante la solución del problema, tal como se describió en la última sección, obtenemos la siguiente serie de reglas simples.
- Para hallar la probabilidad de que un suceso que hasta ahora no se ha observado que falle vuelva a suceder una vez más, divídase el número de veces que se ha observado el suceso incrementado en uno por el mismo número incrementado en dos.
Si ha habido m ocasiones en las que se podría haber observado que un determinado evento sucedía, y ha sucedido en todas esas ocasiones, entonces la probabilidad de que suceda en la próxima ocasión del mismo tipo es m + 1/m + 2.
Por ejemplo, podemos decir que hay nueve lugares en el sistema planetario donde podrían existir planetas que obedecieran la ley de distancias de Bode, y en cada lugar hay un planeta que obedece la ley de manera más o menos exacta, aunque no se conozca ninguna razón para dicha coincidencia. De ahí que la probabilidad de que el siguiente planeta más allá de Neptuno se ajuste a la ley sea 10/11.
- Para hallar la probabilidad de que un suceso que hasta ahora no ha fallado no falle durante un cierto número de nuevas ocasiones, divídase el número de veces que el suceso ha ocurrido incrementado en uno, por ese mismo número incrementado en uno y el número de veces que ha de ocurrir.
Habiendo ocurrido un suceso m veces sin falta, la probabilidad de que ocurra n veces más es m + 1/m + n + 1.
De este modo, la probabilidad de que tres nuevos planetas obedecieran la ley de Bode es de 10/13; pero hay que admitir que este resultado, al igual que el anterior, se vería muy debilitado por el hecho de que apenas puede decirse que Neptuno obedezca dicha ley.
3. Habiendo sucedido un acontecimiento y fracasado un cierto número de veces, para hallar la probabilidad de que suceda la vez próxima, divídase el número de veces que el acontecimiento ha sucedido incrementado en uno, por el número total de veces que el acontecimiento ha sucedido o fracasado incrementado en dos.
Si un acontecimiento ha ocurrido m veces y ha fallado n veces, la probabilidad de que ocurra en la próxima ocasión es m + 1/m + n + 2. Así,