CAPÍTULO XII. LA APLICACIÓN INDUCTIVA O INVERSA DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD.

verdadera. > Así, si hubiéramos extraído veinte bolas una tras otra, reemplazando la bola después de cada extracción, y la bola hubiera resultado ser blanca en cada caso, creeríamos que hay un predominio considerable de bolas blancas en la urna, y una probabilidad a favor de extraer una bola blanca en la siguiente ocasión. Aunque hubiéramos extraído bolas blancas durante miles de veces sin fallo, seguiría siendo posible que algunas bolas negras se ocultaran en la urna y aparecieran al fin, de modo que nuestras deducciones nunca podrían ser ciertas. Por otro lado, si las bolas negras salieran a intervalos, esperaríamos que tras un cierto número de pruebas las bolas negras volvieran a aparecer de vez en cuando con una frecuencia más o

La solución matemática de la cuestión consiste en poco más que en un análisis riguroso del modo en que procede nuestro sentido común.

Si se han extraído veinte bolas blancas y ninguna bola negra, mi sentido común me dice que cualquier hipótesis que convierta a las bolas negras de la urna en considerables en comparación con las blancas es improbable; un predominio de bolas blancas es una hipótesis más probable y, como deducción de esta hipótesis más probable, espero una recurrencia de bolas blancas.

El matemático se limita a reducir este proceso de pensamiento a números exactos.

Tomando, por ejemplo, la hipótesis de que hay 99 bolas blancas y una negra en la urna, puede calcular la probabilidad de que se extraigan 20 bolas blancas consecutivas en esas circunstancias; forma así una estimación definida de la probabilidad de esta hipótesis y, conociendo al mismo tiempo la probabilidad de que vuelva a salir una bola blanca si tales son los contenidos de la urna, combina estas probabilidades y obtiene una estimación exacta de que una bola blanca volverá a salir como consecuencia de esta hipótesis.

Pero como esta hipótesis es solo una entre muchas posibles, dado que la proporción de bolas blancas y negras puede ser de 98 a 2, o de 97 a 3, o de 96 a 4, y así sucesivamente, tiene que repetir la estimación para cada una de esas hipótesis posibles.

Para hacer que el método de resolución del problema resulte perfectamente evidente, describiré en la siguiente sección un caso muy simple del problema, ideado originalmente con ese propósito por Condorcet, que también fue adoptado por Lacroix,‍¹⁸ y que ha pasado a las obras de De Morgan, Lubbock y otros.

Ilustración sencilla del problema inverso.

Supóngase que se sabe que una urna contiene únicamente cuatro bolas negras o blancas, siendo desconocida la proporción de bolas negras y blancas. Habiéndose hecho cuatro extracciones con reemplazamiento, y habiendo aparecido una bola blanca en todas las ocasiones menos una, se requiere determinar la probabilidad de que aparezca una bola blanca la próxima vez. Ahora bien, las hipótesis que pueden formularse sobre el contenido de la urna son muy limitadas en número, y son como máximo las cinco siguientes:—