Las formas de razonamiento deductivo consideradas hasta ahora son en su mayoría casos de deducción directa, en contraste con aquellas de las que vamos a tratar ahora.
El método de deducción indirecta puede describirse como aquel que señala lo que una cosa es, al demostrar que no puede ser ninguna otra cosa. Podemos definir un determinado espacio en un mapa coloreando dicho espacio, o bien coloreando todo excepto dicho espacio; el primer modo es positivo, el segundo negativo.
La diferencia, como se verá fácilmente, es exactamente análoga a la que existe entre los modos directo e indirecto de demostración en geometría. Euclides a menudo demuestra que dos líneas son iguales al demostrar que no pueden ser desiguales, y la demostración se apoya en el número conocido de alternativas —mayor, igual o menor— que son las únicas concebibles. En otros casos, como por ejemplo en la séptima proposición del primer libro, demuestra que dos líneas deben encontrarse en un punto determinado al demostrar que no pueden encontrarse en ninguna otra parte.
En lógica siempre podemos definir con certeza el número máximo de alternativas concebibles. La Ley de la Dualidad (págs. 6, 74) nos permite afirmar siempre que cualquier cualidad o circunstancia, sea cual sea, está presente o ausente. Cualquiera que sea el significado de los términos A y B, es ciertamente verdad que
Estas son premisas tácitas universales que pueden emplearse en la solución de todo problema, y que son condiciones tan invariables y necesarias de todo pensamiento, que no es necesario establecerlas de manera especial.
La Ley de la Contradicción es una condición ulterior de todo pensamiento y de todo símbolo lógico; nos permite, y de hecho nos obliga, a rechazar de nuestra consideración posterior todos los términos que implican la presencia y la ausencia de una misma cualidad.
Ahora bien, siempre que ponemos en acción explícita ambas Leyes del Pensamiento mediante el método de sustitución, empleamos el Método Indirecto de Inferencia. Se verá que podemos tratar no solo aquellos argumentos ya expuestos según el método directo, sino que podemos incluir una multitud infinita de otros argumentos que son incapaces de resolverse por ningún otro medio.
Algunos filósofos, especialmente los de Francia, han sostenido que el Método Indirecto de Demostración tiene cierta inferioridad respecto al método directo, lo cual debería impedirnos usarlo salvo cuando estemos obligados a ello. Pero hay muchas verdades que solo podemos demostrar indirectamente. Podemos demostrar que un número es primo únicamente mediante el método puramente indirecto de mostrar que no es ninguno de los números que tienen divisores, y el notable proceso conocido como la Criba de Eratóstenes es el único modo mediante el cual podemos seleccionar los números primos.1 Este guarda una fuerte analogía con el método indirecto que aquí se va a describir. Podemos demostrar que el lado y el diámetro de un cuadrado son incomensurables, pero solo de manera negativa o indirecta,