Debe existir un tercer axioma en el sentido de que «Las cosas desiguales a una misma cosa pueden o no ser iguales entre sí». Dos desigualdades no ofrecen ninguna base para la deducción.
Si solo sabemos, por ejemplo, que Mercurio y Júpiter difieren en densidad de Marte, no podemos afirmar si coinciden o no entre ellos. De hecho, no coinciden; pero Venus y Marte, por otra parte, ambos difieren de Júpiter y sin embargo coinciden estrechamente entre sí.
La fuerza de los axiomas puede ilustrarse con mayor claridad trazando líneas iguales y desiguales.5
La conclusión general debe ser entonces que donde hay igualdad puede haber inferencia, pero donde no hay igualdad no puede haber inferencia. Una simple inducción nos llevará a creer que la condición de la inferencia relativa a la cantidad es la igualdad. De hecho, los tres axiomas pueden resumirse en uno solo, a saber, que «cualquiera que sea la relación en que una cantidad se encuentre respecto a otra, se encuentra en la misma relación respecto al igual de esa otra».
El poder activo es siempre la sustitución de iguales, y es un accidente que en un par de igualdades podamos hacer la sustitución de dos maneras.
De a = b = c podemos inferir a = c, ya sea sustituyendo en a = b el valor de b tal como se da en b = c, o bien sustituyendo en b = c el valor de b tal como se da en a = b.
En a = b ~ d solo podemos hacer una sustitución de a por b.
En e ~ f ~ g no podemos hacer ninguna sustitución ni obtener ninguna inferencia.
En las matemáticas, las relaciones en las que los términos pueden encontrarse entre sí son mucho más variadas que en la lógica pura, pero nuestro principio de sustitución siempre se cumple. Podemos decir de la manera más general que *Cualquiera que sea la relación en la que una cantidad se encuentre con respecto a otra, se encuentra en la misma relación con respecto a la igual