La aparición real de bolas blancas y negras en las extracciones descarta la primera y la última hipótesis, de modo que solo nos quedan tres por considerar.
Si la caja contiene tres bolas blancas y una negra, la probabilidad de extraer una blanca cada vez es de 3/4, y una negra de 1/4; de modo que el suceso compuesto observado, a saber, tres blancas y una negra, tiene la probabilidad de 3/4 × 3/4 × 3/4 × 1/4, según la regla ya dada (p. 204). Pero como es indiferente en qué orden se extraigan las bolas, y la bola negra podría salir primera, segunda, tercera o cuarta, debemos multiplicar por cuatro para obtener la probabilidad de tres blancas y una negra en cualquier orden, obteniendo así 27/64.
Tomando la siguiente hipótesis de dos bolas blancas y dos negras en la urna, obtenemos para la misma probabilidad la cantidad de , o , y de la tercera hipótesis de una blanca y tres negras deducimos asimismo , o .
Por consiguiente, según adoptemos la primera, la segunda o la tercera hipótesis, la probabilidad de que se produjera el resultado efectivamente observado es de , y .
Ahora bien, es seguro que una u otra de estas hipótesis debe ser la verdadera, y sus probabilidades absolutas son proporcionales a las probabilidades de que los acontecimientos observados se siguieran de ellas (págs. 242, 243). Todo lo que tenemos que hacer entonces, para obtener la probabilidad absoluta de cada hipótesis, es alterar estas fracciones en una proporción uniforme, de modo que su suma sea la unidad, la expresión de la certeza.
Ahora bien, dado que , esto se efectúa dividiendo cada fracción por y multiplicándola por . Así, las probabilidades de la primera, la segunda y la tercera hipótesis son respectivamente:
La parte inductiva del problema está completa, ya que hemos descubierto que lo más probable es que la urna contenga tres bolas blancas y una negra, y hemos asignado la probabilidad exacta de cada suposición posible. Pero ahora estamos en condiciones de reanudar el razonamiento deductivo y deducir la probabilidad de que la próxima extracción produzca, digamos, una bola blanca. Pues si la caja contiene tres bolas blancas y una negra, la probabilidad de extraer una blanca es ciertamente 3/4; y como la probabilidad de que la caja esté constituida de ese modo es 27/46, la probabilidad compuesta de que la caja esté llena de tal forma y dé una bola blanca en la siguiente prueba es
Nuevamente, la probabilidad es 16/46 de que la caja contenga dos blancas y dos negras, y bajo esas condiciones la probabilidad es 1/2 de que aparezca una bola blanca; por lo tanto, la probabilidad de que aparezca una bola blanca como consecuencia de esa condición es
De la tercera suposición obtenemos del mismo modo la probabilidad
Puesto que una y no más de una hipótesis puede ser verdadera, podemos sumar estas probabilidades separadas, y hallamos que esa es la probabilidad completa de que la siguiente bola extraída sea blanca bajo las condiciones y los datos supuestos.