Ahora bien, este resultado se sigue claramente de nuestro proceso de sustitución; pues si tenemos la proposición y sustituimos esta expresión por A en un lado de la identidad evidente por sí misma, obtenemos A b = AB b ꖌ A b C ꖌ A b D;
y, como la primera de las tres alternativas es contradictoria en sí misma, la descartamos de acuerdo con la ley de la contradicción; queda
Así nuestro sistema incluye y explica plenamente aquel modo del Silogismo Disyuntivo llamado técnicamente modus tollendo ponens.
Pero el lector debe observar cuidadosamente que el silogismo disyuntivo del modo ponendo tollens, que afirma una alternativa y de ahí infiere la negación del resto, no puede considerarse válido en este sistema.
Si digo, en efecto, que parece evidente que «el agua salada no es dulce». Pero esta inferencia procede realmente de nuestro conocimiento de que el agua no puede ser al mismo tiempo salada y dulce. Esta incompatibilidad de las alternativas, como he demostrado plenamente, no se cumple siempre. Así, si digo
Las gemas son piedras raras o piedras hermosas, (1)
obviamente no se seguirá que
Una gema rara no es una piedra hermosa, (2)
ni que
Una hermosa gema no es una piedra rara. (3)
Nuestro método simbólico da sólo conclusiones verdaderas; pues si tomamos la proposición (1) es de la forma
| A | = B ꖌ C | |
|---|---|---|
| por lo tanto | AB | = B ꖌ BC |
| y | AC | = BC ꖌ C; |
pero estas inferencias no son equivalentes a las falsas
(2) y (3).
Podemos representar fácilmente el razonamiento disyuntivo mediante el modus ponendo tollens, cuando es válido, expresando explícitamente la inconsistencia de las alternativas. Así, si recurrimos a nuestro ejemplo de y tomamos , entonces la premisa es aparentemente de la forma pero en realidad hay una condición no expresada de que «lo que es sal no es fresco», de lo cual se sigue, mediante un proceso de inferencia que se describirá más adelante, que «lo que es fresco no es sal». Tenemos entonces, en términos de letras, las dos proposiciones
Si sustituimos estas descripciones en la proposición original, obtenemos que al unir B a cada lado inferimos
| AB | = AB c ꖌ AB b C | |
|---|---|---|
| o | AB | = AB c ; |