Es consecuencia de estos principios que puede suponerse que todos los pequeños errores varían en simple proporción respecto a sus causas; una nueva razón por la cual, al eliminar errores, debamos ante todo hacerlos lo más pequeños posible.
Supongamos que hay un triángulo rectángulo cuyos dos catetos que forman el ángulo recto tienen realmente longitudes de 3 y 4, de modo que la hipotenusa es √32 + 42 o 5.
Ahora bien, si en dos mediciones del primer cateto cometemos ligeros errores, haciéndolo sucesivamente 4·001 y 4·002, el cálculo arrojará longitudes para la hipotenusa de casi exactamente 5·0008 y 5·0016, de modo que el error en la hipotenusa parecerá variar en simple proporción respecto al del cateto, aunque en realidad no lo haga con perfecta exactitud.
El logaritmo de un número no varía en proporción a ese número; sin embargo, hallamos que la diferencia entre los logaritmos de los números 100000 y 100001 es casi exactamente igual a la que hay entre los números 100001 y 100002.
Es, por tanto, una regla general que las diferencias muy pequeñas entre valores sucesivos de una función son aproximadamente proporcionales a las pequeñas diferencias de la cantidad variable.
Sobre estos principios es fácil formular una serie de reglas como las dadas por Kohlrausch19 para realizar cálculos de forma abreviada cuando la cantidad variable es muy pequeña en comparación con la unidad.
Así, por 1 ÷ (1 + α) podemos sustituir 1 – α; por 1 ÷ (1 – α) podemos poner 1 + α; 1 ÷ √1 + α se convierte en 1 – 1/2α, y así sucesivamente.
# Cuatro significados de la igualdad.
Aunque pudiera parecer que hay pocos términos más libres de ambigüedad que el término igual, los hombres de ciencia lo emplean, sin embargo, con al menos cuatro significados, que conviene distinguir. Estos significados puedo describirlos como
Por igualdad absoluta entendemos aquella que es completa y perfecta en el último grado; pero es obvio que solo podemos conocer tal igualdad de manera teórica o hipotética.
Las áreas de dos triángulos que se apoyan sobre la misma base y entre las mismas paralelas son absolutamente iguales. Hipócrates demostró bellamente que el área de una lúnula o figura comprendida entre dos segmentos de círculos era absolutamente igual a la de cierto triángulo rectángulo.
Como regla general, todos los teoremas geométricos y otros teoremas matemáticos elementales implican una igualdad absoluta.
De Morgan propuso describir como casi iguales aquellas cantidades que son iguales dentro de una cantidad infinitamente pequeña, de modo que x es casi igual a x + dx. Puede decirse que el cálculo diferencial surge de la omisión de las cantidades infinitamente pequeñas, y en la ciencia matemática tal vez deban trazarse otras sutiles distinciones entre clases de igualdad, como De Morgan ha mostrado en una notable memoria «On Infinity; and on the sign of Equality».20