permutaciones, el número de combinaciones de ninguna, una, dos, tres cosas, y así sucesivamente. De aquí llegamos a una identidad necesaria entre dos series de números. En el caso de cuatro cosas tendremos
En una forma general de expresión, tendremos que los términos continúan hasta que dejan de tener cualquier valor. Así llegamos a una demostración de casos simples del Teorema del Binomio, de los cuales cada columna del Alfabeto Lógico es una ejemplificación. Se puede demostrar que todas las demás expansiones matemáticas surgen asimismo de procesos simples de combinación, pero la consideración más completa de este tema debe aplazarse para otra obra.
Posible variedad de la naturaleza y el arte.
No podemos comprender adecuadamente las dificultades que nos acosan en ciertas ramas de la ciencia, a menos que tengamos una idea clara de la vasta cantidad de combinaciones o permutaciones que pueden ser posibles bajo ciertas condiciones.
Solo así podemos aprender cuán desesperado sería intentar tratar la naturaleza en detalle y agotar el número total de acontecimientos que podrían surgir. Es instructivo considerar, en primer lugar, cuán inmensamente grandes son los números de combinaciones con las que tratamos en muchas artes y pasatiempos.
Al repartir una baraja de cartas, el número de manos de trece cartas cada una que pueden formarse es evidentemente 52 × 51 × 50 × ... × 40 dividido por 1 × 2 × 3 ... × 13, o bien 635.013.559.600.
Pero en el whist se juegan cuatro manos simultáneamente, y el número de repartos distintos llega a ser tan inmenso que se requerirían veintiocho cifras para expresarlo.
Si toda la población del mundo, supongamos que mil millones de personas, se dedicara a repartir cartas día y noche durante cien millones de años, no habrían agotado en ese tiempo ni la cienmilésima parte de los posibles repartos.
Incluso con las mismas manos de cartas, el juego puede variar casi infinitamente, de modo que la variedad completa de partidas de whist que pueden existir es casi incalculablemente grande. Es sumamente improbable que una sola partida de whist haya sido exactamente igual a otra, a menos que se haya hecho de manera intencionada.
El fin de la novedad en el arte bien podría temerse, si no descubriéramos que la naturaleza, al menos, no ha fijado ningún límite alcanzable, y que la deficiencia radicará en nuestras facultades inventivas. Sería un tiempo ciertamente desolador aquel en que se agotaran todas las variedades posibles de melodía, pero se demuestra fácilmente que si un repique de veinticuatro campanas hubiera estado sonando continuamente desde el llamado principio del mundo hasta el día de hoy, no se habría hecho ningún progreso hacia la consumación de los cambios posibles. Es más, aun si cada minuto aislado se hubiera prolongado hasta 10.000 años, la tarea seguiría sin haberse cumplido.12
En lo que respecta a las melodías ordinarias, las ocho notas de una sola octava ofrecen más de 40.000 permutaciones, y dos octavas, más de un billón de millones. Si tomáramos en cuenta los semitonos, se haría evidente que es imposible agotar la variedad de la música. Cuando el difunto señor J. S. Mill, en un estado de ánimo abatido, temía el inminente agotamiento de las melodías musicales, ciertamente no había dedicado suficiente estudio al tema de las permutaciones.