Cuando en una balanza imperfecta invertimos los pesos para eliminar el error, el peso verdadero será la media geométrica de los dos pesos aparentes. En casi todos los cálculos de la estadística y del comercio debería utilizarse, estrictamente hablando, la media geométrica. Si un producto sube de precio un 100 por ciento y otro permanece invariable, la subida media de un precio no es del 50 por ciento porque la razón 150 : 200 no es la misma que 100 : 150. La razón media es como la unidad a √1,00 × 2,00 o de 1 a 1,41. La diferencia entre los tres tipos de medias en un caso así5 es muy considerable; mientras que el aumento de precio estimado por la media aritmética sería del 50 por ciento, sería de solo el 41 y el 33 por ciento respectivamente según las medias geométrica y armónica.
En todos los cálculos relativos a la tasa media de progreso de una comunidad, o de cualquiera de sus operaciones, debe emplearse la media geométrica.
Pues si una cantidad aumenta un 100 por ciento en 100 años, no aumentaría por término medio un 10 por ciento en cada período de diez años, ya que el 10 por ciento se calcularía al final de cada década sobre cantidades cada vez mayores, y daría al cabo de 100 años mucho más del 100 por ciento, concretamente hasta un 159 por ciento.
La verdadera tasa media en cada década sería 10√2, es decir, aproximadamente 1,07; esto es, el aumento sería de alrededor del 7 por ciento en cada período de diez años.
Pero cuando las cantidades difieren muy poco, las medias aritmética y geométrica son aproximadamente las mismas. Así, la media aritmética de 1,000 y 1,001 es 1,0005, y la media geométrica es de aproximadamente 1,0004998, siendo la diferencia de un orden inapreciable en casi todos los asuntos científicos y prácticos.
Incluso en la comparación de pesos patrón mediante el método de inversión de Gauss, la media aritmética puede utilizarse habitualmente en lugar de la media geométrica, que es el resultado verdadero.
Por lo que respecta a la media —en ausencia de una calificación expresa en contrario como la media aritmética común—, debemos distinguir aún entre sus dos usos: aquel en el que proporciona, con mayor o menor precisión y probabilidad, una cantidad realmente existente, y aquel en el que actúa como un mero representante de otras cantidades.
Si realizo muchos experimentos para determinar el peso atómico de un elemento, existe un número determinado al cual deseo aproximarme, y la media de mis resultados individuales será, a falta de razones en contrario, el resultado aproximado más probable.
Cuando determinamos la densidad media de la tierra, no se debe a que ninguna parte de la tierra tenga esa densidad exacta; puede que no haya ninguna parte que corresponda exactamente a la densidad media y, dado que la corteza terrestre tiene solo alrededor de la mitad de la densidad media, la materia interna del globo debe, por supuesto, estar por encima de la media.
Incluso la densidad de una sustancia homogénea como el carbono o el oro debe considerarse como una media entre la densidad real de sus átomos y la densidad cero del espacio vacío intermedio.