Esta opinión, sin embargo, era errónea, ya que tanto el Sr. R. B. Hayward, de Harrow, como el Sr. W. H. Brewer han calculado los números de casos incoherentes tanto para tres como para cuatro términos, sin mucha dificultad. En el caso de cuatro términos encuentran que hay 1761 selecciones incoherentes y 63.774 coherentes, las cuales, junto con un caso en el que no existe ninguna condición, suman el total de 65.536 selecciones posibles.
Los casos inconsistentes se distribuyen de la manera que se muestra en la siguiente tabla:—
| Número de combinaciones restantes. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10, etc. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Número de casos inconsistentes. | 1 | 16 | 112 | 352 | 536 | 448 | 224 | 64 | 8 | 0 | 0, &c. |
Cuando quedan por excluir más de ocho combinaciones del Alfabeto Lógico (pág. 94, columna V.), no puede haber incoherencia. Los números totales de formas de seleccionar 0, 1, 2, etc., combinaciones de entre 16 se dan en la 17.ª línea del Triángulo Aritmético presentado más adelante en el capítulo sobre Combinaciones y Permutaciones, siendo la suma de los números de esa línea 65.536.
# El profesor Clifford sobre los tipos de proposición compuesta que involucran cuatro clases.
En la primera edición (vol. i. p. 163), afirmé que se requerirían algunos años de trabajo para determinar siquiera el número preciso de tipos de ley que rigen las combinaciones de cuatro clases de cosas.
Aunque sigo creyendo que se requerirían algunos años de trabajo para elaborar los tipos en sí, es claramente un error suponer que los números de dichos tipos no se pueden calcular con una cantidad razonable de trabajo, ya que el profesor W. K. Clifford ha llevado a cabo en realidad la tarea.
Su solución del problema numérico implica el uso de un sistema completo y nuevo de nomenclatura y es demasiado intrincada para describirla aquí por completo. Solo puedo dar un breve resumen de los resultados y remitir a los lectores que desearan seguir el razonamiento a los Proceedings of the Literary and Philosophical Society of Manchester, del 9 de enero de 1877, vol. xvi., p. 88, donde el artículo del profesor Clifford está impreso íntegramente.
Por un enunciado simple entiende el profesor Clifford la negación de la existencia de cualquier combinación única o división cruzada de las clases, como en ABCD = 0 o AbCd = 0.
La negación de dos o más de tales combinaciones se denomina enunciado compuesto, y se dice además que es doble, triple, etc., según el número de negaciones. Así, ABC = 0 es un enunciado compuesto doble con respecto a cuatro clases, porque involucra tanto a ABCD = 0 como a ABCd = 0.
Cuando dos enunciados compuestos pueden convertirse el uno en el otro mediante el intercambio de las clases A, B, C, D entre sí o con sus clases complementarias a, b, c, d, se denominan similares, y se dice que todos los enunciados similares pertenecen al mismo tipo.
Dos afirmaciones se denominan complementarias cuando niegan entre ambas las dieciséis combinaciones sin que ambas nieguen ninguna; o, lo que es lo mismo, cuando cada una niega justamente aquellas combinaciones que la otra permite que existan.