Las verdades que se observan fácilmente en la una pueden ser de un carácter diferente de las que se presentan en la otra. La analogía, una vez señalada, nos lleva a descubrir regiones de una ciencia aún no desarrolladas, para las cuales la clave la proporcionan las verdades correspondientes de la otra ciencia. > Un intercambio de ayuda, de resultados sumamente maravillosos, puede tener lugar de este modo y, al mismo tiempo, la mente se eleva a una generalización más alta y a una visión más abarcadora de la
No hay dos ciencias que a primera vista parezcan más diferentes en su objeto de estudio que la geometría y el álgebra. La primera se ocupa de los círculos, cuadrados, paralelogramos y otras formas en el espacio; la segunda, de meros símbolos numéricos.
Antes de la época de Descartes, las ciencias se desarrollaron lenta y penosamente con una independencia casi total la una de la otra. Los filósofos griegos, en verdad, no pudieron dejar de notar analogías ocasionales, como cuando Platón en el Teeteto describe un número cuadrado como igualmente igual, y un número producido al multiplicar dos factores desiguales como oblongo.
Euclides, en los libros 7 y 8 de sus Elementos, utiliza continuamente expresiones que muestran la conciencia de esas mismas analogías, como cuando llama a un número de dos factores un número plano, ἐπίπεδος ἀριθμός, y distingue un número cuadrado cuyos dos factores son iguales como un número plano y equilátero, ἰσόπλευρος καὶ ἐπίπεδος ἀριθμός. También llama a la raíz de un número cúbico su lado, πλευρά.
En el álgebra diofántica se resolvieron muchos problemas de carácter geométrico mediante procesos algebraicos o numéricos; pero no existía un sistema general, por lo que las soluciones tenían un carácter aislado.
En general, los antiguos estaban mucho más avanzados en los métodos geométricos que en los simbólicos; así, Euclides en su cuarto libro ofrece los medios para dividir un círculo por medios puramente geométricos en 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30 partes, pero desconocía por completo la teoría de las raíces de la unidad que se corresponde exactamente con esta división del círculo.
Durante la Edad Media, por el contrario, el álgebra avanzó más allá de la geometría, y los modos de resolver ecuaciones fueron descubiertos gradualmente por quienes no tenían idea de que en cada paso estaban resolviendo implícitamente problemas geométricos. Es cierto que Regiomontano, Tartaglia, Bombelli y, posiblemente, otros tempranos algebristas resolvieron problemas geométricos aislados con la ayuda del álgebra, pero siempre se emplearon números particulares y no se manifestó conciencia de un método general. Vieta anticipó en cierta medida el descubrimiento final y ocasionalmente representó las raíces de una ecuación geométricamente, pero estaba reservado a Descartes mostrar, de la manera más general, que toda ecuación puede ser representada por una curva o figura en el espacio, y que cada giro, punto, cúspide u otra peculiaridad de la curva indica alguna peculiaridad de la ecuación. Es imposible describir de manera adecuada la importancia de este descubrimiento. La ventaja fue doble: el álgebra ayudó a la geometría, y la geometría prestó ayuda recíproca al álgebra.