combinaciones, pero aumenta las permutaciones por un factor que crece continuamente. En lugar de 2 × 2 × 2 × 2 × .... tenemos 2 × 3 × 4 × 5 × .... y los productos de esta última expresión superan inmensamente a los de la primera. Estos productos de factores crecientes se emplean frecuentemente, como veremos, en cuestiones tanto de permutación como de combinación. Se les llama técnicamente factoriales , es decir, el producto de todos los números enteros, desde la unidad hasta cualquier número n , es el factorial de n , y a menudo se indica simbólicamente por n !. A continuación presento los factoriales hasta el de doce:—
| 24 = | 1 . 2 . 3 . 4 |
|---|---|
| 120 = | 1 . 2 . . . 5 |
| 720 = | 1 . 2 . . . 6 |
| 5,040 = | 5040 |
| 40.320 = | 40.320 |
| 362,880 = | 362.880 |
| 3.628.800 = | 3.628.800 |
| 39.916.800 = | 39.916.800 |
| 479,001,600 = | 12! |
Los factoriales hasta el 36! se dan en la «Cyclopædia» de Rees, art. Cipher, y los logaritmos de los factoriales hasta el 265! se pueden encontrar al final de la tabla de logaritmos publicada bajo la dirección de la Sociedad para la Difusión del Conocimiento Útil (p. 215). Expresar el factorial 265! requeriría 529 cifras.
Muchos escritores han comentado de vez en cuando la magnitud extraordinaria de los números con los que tratamos en esta materia.
- Tacquet calculó4 que las veinticuatro [sic] letras del alfabeto pueden ordenarse en más de 620 mil billones de formas; y
- Schott estimó5 que si mil millones de hombres fueran empleados durante el mismo número de años en escribir estas combinaciones, y cada hombre llenara cada día cuarenta páginas con cuarenta combinaciones en cada una, no habrían cumplido con la tarea, ya que habrían escrito solo 584 mil billones en lugar de 620 mil billones.
En algunas preguntas, el número de permutaciones puede verse restringido y reducido por diversas condiciones. Algunos elementos de un grupo pueden ser indistinguibles de otros, de modo que el cambio de orden no producirá ninguna diferencia. Así, si tuviéramos que permutar las letras del nombre Ann, según nuestra regla anterior, obtendríamos 3 × 2 × 1, es decir, 6 órdenes; pero la mitad de estas disposiciones serían idénticas a la otra mitad, porque el intercambio de las dos n no tiene efecto. Los órdenes realmente diferentes serán, por tanto, 3 . 2 . 1/1 . 2 o 3, a saber, Ann, Nan, Nna.
En la palabra utility hay dos i y dos t, respecto de ambos pares los números de permutaciones deben reducirse a la mitad. Así obtenemos 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1/1 . 2 . 1 . 2 o 1260, como el número de permutaciones.
La regla simple es evidentemente —cuando algunas cosas o letras son indistinguibles, proceda en primer lugar a calcular todas las permutaciones posibles como si todas fueran diferentes, y luego divida por los números de permutaciones posibles de aquellas series de cosas que no son indistinguibles, y cuyas permutaciones por lo tanto han sido contadas en exceso.