En efecto, a veces podemos obtener mediante el cálculo de diferencias una fórmula empírica correcta; pues si p es el primer término de la serie de valores, y Δ p , Δ 2 p , Δ 3 p , es el primer número en cada columna de diferencias, entonces el término m -ésimo de la serie de valores será
Una fórmula muy equivalente, pero más practicable, para la interpolación por diferencias, ideada por Lagrange, se encontrará en la obra Elements of Natural Philosophy de Thomson y Tait, p. 115.
Si ninguna columna de diferencias muestra tendencia alguna a anularse en todo su recorrido, es indicio de que la ley es de un carácter más complicado, por ejemplo, exponencial, por lo que requiere un tratamiento diferente.
El Dr. J. Hopkinson ha sugerido un método de interpolación aritmética,15 destinado a evitar gran parte de lo arbitrario del método gráfico. Su procedimiento arrojará los mismos resultados en todas las manos.
En la medida en que podamos inferir los resultados susceptibles de obtenerse mediante variaciones que sobrepasen los límites de la experimentación, debemos proceder basándonos en los mismos principios.
Si es posible, debemos descubrir las leyes exactas en acción y, entonces, confiar en ellas como guía cuando carezcamos de experiencia. De lo contrario, una fórmula empírica del mismo carácter que las empleadas en la interpolación será nuestro único recurso.
Pero extender nuestra inferencia mucho más allá de los límites de la experiencia es sumamente inseguro. Nuestro conocimiento es, en el mejor de los casos, meramente aproximado y no toma en cuenta las pequeñas tendencias.
Ahora bien, por lo general ocurre que las tendencias que son pequeñas dentro de nuestros límites de observación se vuelven perceptibles o grandes bajo circunstancias extremas. Cuando la variable de nuestra fórmula empírica es pequeña, estamos justificados en pasar por alto las potencias superiores y tomar solo dos o tres potencias inferiores. Pero a medida que la variable aumenta, las potencias superiores ganan importancia y, con el tiempo, aportan la parte principal del valor de la función.
Esto no es una mera deducción teórica. A excepción de unas pocas leyes fundamentales de la naturaleza, como la ley de la gravedad, la de la conservación de la energía, etc., apenas existe ley natural en la que podamos confiar en circunstancias muy distintas de aquellas con las que estamos familiarizados en la práctica. A partir de la dilatación o contracción, fusión o vaporización de las sustancias por acción del calor en la superficie de la tierra, podemos hacernos una idea muy imperfecta de lo que ocurriría cerca del centro de la tierra, donde la presión supera casi infinitamente cualquier cosa posible en nuestros experimentos. La física de la tierra nos ofrece una idea débil, y probablemente engañosa, de un cuerpo como el sol, en el que una temperatura inimaginablemente alta se combina con una presión inimaginablemente alta. Si en las regiones del espacio existen nebulosas formadas por vapores incandescentes y no oxidados de metales y otros elementos, quizás tan calientes que la composición química queda fuera de toda posibilidad, apenas somos capaces de tratarlas como objeto de deducción científica. De ahí surge la gran importancia de los experimentos en los que investigamos las propiedades de las sustancias bajo circunstancias extremas de frío o calor, densidad o escasez, intensa excitación eléctrica, etc.