De estos tres usos de la media, el primero es enteramente distinto en su naturaleza de los dos últimos, ya que no proporciona una aproximación a ninguna cantidad natural, sino que nos suministra un resultado aritmético que compara el agregado de ciertas cantidades con su número.
El tercer uso de la media descansa enteramente en la teoría de la probabilidad, y será considerado con más detalle en una parte posterior de este capítulo.
El segundo uso está estrechamente conectado, o es incluso idéntico, al Método de Inversión ya descrito, pero será conveniente examinar con cierta amplitud los tres empleos del mismo proceso aritmético.
La media y el promedio.
Existe mucha confusión en el uso popular, o incluso científico, de los términos media y promedio, y comúnmente se toman como sinónimos. Es necesario determinar con cuidado qué significados debemos atribuirles.
La palabra inglesa mean es equivalente a medium (medio), derivándose, quizás a través del francés moyen, del latín medius, que a su vez está indudablemente emparentado con el griego μεσος.
Los etimólogos creen también que esta palabra griega está conectada con la preposición μετα, el alemán mitte y el verdadero término inglés mid o middle; de modo que, después de todo, la media (mean) es un término técnico idéntico en su raíz con el equivalente más popular middle (en medio).
Si indagamos qué es la media desde el punto de vista matemático, la verdadera respuesta es que hay varios o muchos tipos de medias. Los antiguos aritméticos reconocieron diez clases, expuestas por Boecio, y Jordanus añadió una undécima.3
La media aritmética es, con mucho, la designada más comúnmente con este término, y la que podemos entender que significa a falta de cualquier otra precisión. Es la suma de una serie de cantidades dividida por su número, y puede representarse mediante la fórmula 1/2(a + b).
Pero también existe la media geométrica, que es la raíz cuadrada del producto, √a × b, o aquella cantidad cuyo logaritmo es la media aritmética de los logaritmos de las cantidades.
También existe la media armónica, que es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de las cantidades. Así, si a y b son las cantidades, como antes, sus recíprocos son 1/a y 1/b, cuya media es 1/2 (1/a + 1/b), y cuyo recíproco nuevamente es 2ab/a + b, que es la media armónica.
Sin duda, podrían inventarse otros tipos de medias para fines particulares, y podríamos aplicar el término, como señaló De Morgan,4 a cualquier cantidad cuya función sea igual a una función de otras dos o más cantidades, y sea tal que el intercambio de estas últimas cantidades entre sí no altere el valor de la función.
Simbólicamente, si Φ (y, y, y ....) = Φ (x1, x2, x3 ....), entonces y es un tipo de media de las cantidades, x1, x2, etc.
La media geométrica se adopta necesariamente en ciertos casos. Cuando estimamos el trabajo realizado contra una fuerza que varía inversamente al cuadrado de la distancia desde un punto fijo, la fuerza media es la media geométrica entre las fuerzas al principio y al final del trayecto.