En la combinación tomamos nota únicamente de la presencia o ausencia de cierta cosa, y no prestamos atención alguna a su lugar en el orden del tiempo o del espacio. Así, las cuatro letras a , e , m , n pueden formar una sola combinación, pero aparecen en el lenguaje en varias permutaciones, como name , amen , mean , mane .
Hasta ahora nos hemos ocupado de cuestiones puramente lógicas, que implican únicamente la combinación de cualidades. He señalado plenamente en más de un lugar que, aunque nuestros símbolos no podían dejar de escribirse en orden de lugar y leerse en orden de tiempo, las relaciones expresadas no tenían en cuenta ni el lugar ni el tiempo (págs. 33, 114).
La ley de conmutatividad, de hecho, expresa la condición de que en lógica tratamos con combinaciones, y la misma ley es aplicable a todos los procesos del álgebra. En algunos casos, el orden puede ser indiferente; no importa, por ejemplo, si la pólvora es una mezcla de azufre, carbono y nitrato, o de carbono, nitrato y azufre, o de nitrato, azufre y carbono, siempre que las sustancias estén presentes en las proporciones adecuadas y bien mezcladas.
Pero esta indiferencia del orden no suele extenderse a los acontecimientos de la ciencia física ni a las operaciones del arte. La transformación de la energía mecánica en calor no es exactamente lo mismo que la transformación del calor en energía mecánica; el trueno no precede y sigue al trueno indistintamente; resulta de cierta importancia que carguemos, pongamos el cápsula, apuntemos y disparemos un rifle en este orden preciso.
El tiempo es la condición de todos nuestros pensamientos, el espacio de todas nuestras acciones, y por lo tanto, tanto en el arte como en la ciencia nos ocupamos en gran medida de permutaciones. El idioma, por ejemplo, trata distintas permutaciones de letras como si tuvieran diferentes significados.
Las permutaciones de las cosas son mucho más numerosas que las combinaciones de esas mismas cosas, por la razón obvia de que cada cosa distinta se considera de manera diferente según su lugar.
Así, las letras A, B, C formarán diferentes permutaciones según A ocupe el primer, segundo o tercer lugar; una vez decidido el lugar de A, hay dos lugares entre los cuales podemos elegir para B; y luego queda un solo lugar para C. En consecuencia, las permutaciones de estas letras serán en total 3 × 2 × 1, es decir, 6.
Con cuatro cosas o letras, A, B, C, D, tendremos cuatro opciones de lugar para la primera letra, tres para la segunda, dos para la tercera y una para la cuarta, de modo que habrá en total 4 × 3 × 2 × 1, es decir, 24 permutaciones.
La misma regla sencilla se aplica en todos los casos; comenzando con el número total de cosas, multiplicamos en cada paso por un número disminuido en una unidad. En términos generales, si n es el número de cosas en una combinación, el número de permutaciones es
Si tuviéramos que reordenar los nombres de los días de la semana, las posibles ordenaciones entre las cuales tendríamos que elegir el nuevo orden no serían menos de 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, es decir, 5040, o, excluyendo el orden actual, 5039.
El lector verá que los números a los que llegamos en cuestiones de permutación aumentan de un modo aún más extraordinario que en la combinación. Cada nuevo objeto o término duplica el número de