Los más grandes matemáticos han consagrado, durante los últimos tres siglos, sus mejores facultades al tratamiento de este tema; fue el estudio favorito de Pascal; atrajo tempranamente la atención de Leibniz, quien escribió su curioso ensayo, De Arte Combinatoria, a los veinte años de edad; Jakob Bernoulli, uno de los matemáticos más profundos, dedicó una parte considerable de su vida a la investigación del tema, en relación con el de la Probabilidad; y en su célebre obra, De Arte Conjectandi, ha descrito con tanta finura la importancia de la doctrina de las combinaciones, que no necesito ofrecer ninguna disculpa por citar sus observaciones íntegramente.
“It is easy to perceive that the prodigious variety which appears both in the works of nature and in the actions of men, and which constitutes the greatest part of the beauty of the universe, is owing to the multitude of different ways in which its several parts are mixed with, or placed near, each other.
But, because the number of causes that concur in producing a given event, or effect, is oftentimes so immensely great, and the causes themselves are so different one from another, that it is extremely difficult to reckon up all the different ways in which they may be arranged or combined together, it often happens that men, even of the best understandings and greatest circumspection, are guilty of that fault in reasoning which the writers on logic call the insufficient or imperfect enumeration of parts or cases:
insomuch that I will venture to assert, that this is the chief, and almost the only, source of the vast number of erroneous opinions, and those too very often in matters of great importance, which we are apt to form on all the subjects we reflect upon, whether they relate to the knowledge of nature, or the merits and motives of human actions.
“Debe reconocerse, por tanto, que aquel arte que proporciona un remedio a esta debilidad, o defecto, de nuestro entendimiento, y nos enseña a enumerar de tal modo todas las maneras posibles en que un número dado de cosas puede mezclarse y combinarse, de modo que podamos estar seguros de que no hemos omitido ninguna disposición de ellas que pueda conducir al objeto de nuestra investigación, merece ser considerado como sumamente útil y digno de nuestra más alta estima y atención. Y este es el cometido del arte o doctrina de las combinaciones. Ni debe considerarse este arte o doctrina meramente como una rama de las ciencias matemáticas. Pues guarda relación con casi todas las especies de conocimiento útil en que la mente del hombre puede emplearse. Procede en verdad sobre principios matemáticos, al calcular el número de las combinaciones de las cosas propuestas: mas por las conclusiones que mediante él se obtienen, la sagacidad del filósofo natural, la exactitud del historiador, la destreza y el juicio del médico, y la prudencia y previsión del político pueden verse asistidas; porque el cometido de todas estas importantes profesiones no es sino formar conjeturas razonables acerca de los diversos objetos que atraen su atención, y todas las conjeturas prudentes son el resultado de un examen justo y cuidadoso de los diversos efectos diferentes que pueden surgir posiblemente de las causas capaces de producirlos.”3
Distinción de Combinaciones y Permutaciones.
Debemos considerar primeramente la profunda diferencia que existe entre Combinaciones y Permutaciones, una diferencia que entraña importantes principios lógicos y que influye en la forma de las expresiones matemáticas. En la permutación reconocemos variedades de orden, tratando a AB como un grupo diferente de BA.