Tomando una línea apropiada del triángulo, se puede obtener una respuesta bajo cualquier suposición más natural. Esta teoría de la frecuencia comparativa de divergencia respecto a un promedio fue notada por primera vez de manera adecuada por Quetelet, y ha sido empleada recientemente de un modo muy interesante y audaz por el señor Francis Galton,11 en su notable obra sobre el «Genio hereditario». En adelante veremos que la teoría del error, a la que se recurre en última instancia en los casos de investigación cuantitativa, se funda en los números comparativos de combinaciones tal como se muestran en el triángulo.
# Conexión entre el Triángulo Aritmético y el Alfabeto Lógico.
Existe una conexión estrecha entre el triángulo aritmético descrito en la última sección y la serie de combinaciones de letras denominada Alfabeto Lógico. El uno es a la ciencia matemática lo que el otro es a la ciencia lógica.
De hecho, los números figurados, o los expuestos en el triángulo, se obtienen sumando las combinaciones lógicas.
En consecuencia, del mismo modo que el total de los números en cada línea del triángulo es dos veces mayor que el de la línea precedente (p. 186), cada columna del Alfabeto (p. 94) contiene el doble de combinaciones que la anterior. Una correspondencia similar existe también entre las sumas de todas las líneas de cifras hasta cualquier línea determinada, y las de las combinaciones hasta cualquier columna determinada.
Al examinar cualquier columna del Alfabeto Lógico, descubrimos que las combinaciones se agrupan de manera natural según los números figurados. Tomemos las combinaciones de las letras A, B, C, D; estas consisten en todas las formas en que puedo elegir cuatro, tres, dos, uno o ninguno de los cuatro términos, rellenando los espacios vacíos con términos negativos.
Hay una combinación, ABCD, en la que están presentes todas las letras positivas; hay cuatro combinaciones en cada una de las cuales tres letras positivas están presentes; seis en las que dos están presentes; cuatro en las que solo una está presente; y, finalmente, hay un solo caso, abcd, en el que faltan todas las letras positivas.
Estos números, 1, 4, 6, 4, 1, son los de la quinta línea del triángulo aritmético, y se observará que existe una correspondencia semejante en cada columna del Alfabeto Lógico.
La abstracción numérica, se ha afirmado, consiste en pasar por alto la clase de diferencia y retener únicamente la conciencia de su existencia (p. 158). Si en la lógica, por tanto, tenemos que habérnoslas con cada combinación como una clase separada de cosa, en la aritmética distinguimos únicamente las clases que dependen de que estén presentes más o menos términos positivos, y los números de estas clases producen inmediatamente los números del triángulo aritmético.
Puede señalarse aquí que hay dos modos en los que podemos calcular el número total de combinaciones de ciertas cosas. O bien podemos tomar el número total de una vez tal como se muestra en el Alfabeto Lógico, en cuyo caso el número será alguna potencia de dos, o bien podemos calcular sucesivamente, con ayuda de las