símbolos numéricos. Siempre que escribo el símbolo 5, en realidad quiero decir —y se entiende perfectamente— que cada una de estas unidades es distinta de las demás. Si fuera necesario, podría señalarlas así
Si este no fuera el caso y las unidades fueran realmente la Ley de Unidad se aplicaría, como se señaló anteriormente, y
Los símbolos matemáticos obedecen entonces a todas las leyes de los símbolos lógicos, pero dos de estas leyes parecen ser inaplicables simplemente porque están presupuestas en la definición de la unidad matemática.
La lógica sienta así las condiciones del número, y la ciencia de la aritmética, desarrollada tal como está en todas las ramas maravillosas del cálculo matemático, no es más que una ramificación de la discriminación lógica.
# Principle of Mathematical Inference.
El principio universal de todo razonamiento, como he afirmado, es aquel que nos permite sustituir lo semejante por lo semejante.
He de señalar ahora cómo en las ciencias matemáticas este principio interviene en cada paso del razonamiento. Es en estas ciencias, en efecto, donde encontramos los casos más claros de sustitución, y es la simplicidad con la que se puede aplicar el principio lo que probablemente condujo a la perfección comparativamente temprana de las ciencias de la geometría y la aritmética.
Euclides, y los matemáticos griegos desde un principio, reconocieron la igualdad como la relación fundamental del pensamiento cuantitativo, pero Aristóteles rechazó la relación de identidad, exactamente análoga pero mucho más general, y con ello paralizó la ciencia formal de la lógica tal como ha llegado hasta nuestros días.
El razonamiento geométrico parte del axioma de que
“las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí”.
Dos igualdades nos permiten inferir una tercera igualdad; y esto es verdad no solo para líneas y ángulos, sino también para áreas, volúmenes, números, intervalos de tiempo, fuerzas, velocidades, grados de intensidad o, en resumen, cualquier cosa que sea capaz de ser igual o desigual.
- Dos estrellas igualmente brillantes que una misma estrella deben ser igualmente brillantes entre sí, y
- dos fuerzas igualmente intensas que una tercera fuerza son igualmente intensas entre sí.
Es notable que Euclides no haya enunciado explícitamente otros dos axiomas, cuya verdad está implícitamente necesaria.
El segundo axioma debería ser que «Dos cosas de las cuales una es igual y la otra desigual a una tercera cosa común, son desiguales entre sí».
Una igualdad y una desigualdad, en resumen, dan una desigualdad, y esto es igualmente cierto con el primer axioma para todo tipo de cantidad. Si Venus, por ejemplo, coincide con Marte en densidad, pero Marte difiere de Júpiter, entonces Venus difiere de Júpiter.