Puedo añadir que no pocos lógicos han aceptado este punto de vista sobre la proposición universal afirmativa. Leibniz, en sus Difficultates Quædam Logicæ, lo adopta, diciendo: «Omne A est B; id est æquivalent AB et A, seu A non B est nonens». Boole empleó la ecuación lógica x = xy simultáneamente con x = vy; y Spalding2 afirma claramente que la proposición «todos los metales son minerales» podría describirse como una aseveración de identidad parcial entre las dos clases. De ahí el nombre que he adoptado para la proposición.
Identidades Limitadas.
Una clase importante de proposiciones tiene la forma que expresa la identidad de la clase con la clase .
En otras palabras, «Dentro de la esfera de la clase A, todos los B son todos los C»; o también, «Los B y C, que son A, son idénticos». Pero se observará que no se afirma nada acerca de las cosas que están fuera de la clase A; y por lo tanto la identidad es de alcance limitado. Es la proposición limitada a la esfera de las cosas llamadas A.
Así podemos decir, con cierta aproximación a la verdad, que «Las plantas grandes son plantas carentes de fuerza locomotriz».
Un abogado puede hacer multitud de afirmaciones de lo más general sobre las relaciones entre personas y cosas en el curso de una argumentación, pero, por supuesto, debe entenderse que habla únicamente de personas y cosas bajo la ley inglesa.
Incluso los matemáticos hacen afirmaciones que no son ciertas con absoluta generalidad. Dicen que las raíces imaginarias entran en las ecuaciones por parejas; pero esto solo es cierto bajo la condición tácita de que las ecuaciones en cuestión no tengan coeficientes imaginarios.3
El universo, en resumen, dentro del cual discurren habitualmente es el de las ecuaciones con coeficientes reales. Estas limitaciones implícitas forman parte de esa gran masa de conocimiento tácito que acompaña a todo argumento especial.
A De Morgan se debe la observación de que solemos pensar y razonar en un universo o esfera de nociones limitado, incluso cuando este no se enuncia expresamente.4
Es digno de investigación si todas las identidades no están en realidad limitadas a una esfera implícita de significado.
Cuando hacemos una afirmación tan simple como «El oro es maleable», obviamente hablamos del oro solo en su estado sólido; cuando decimos que «El mercurio es un metal líquido», debe entenderse que excluimos la condición congelada a la que puede ser reducido en las regiones árticas.
Aun cuando tomamos una ley de la naturaleza tan fundamental como «Todas las sustancias gravitan», debemos entender por sustancia, sustancia material, excluyendo esa base de calor, luz y ondulaciones eléctricas que ocupa el espacio y posee muchas propiedades mecánicas maravillosas, pero no la gravedad.
La proposición es entonces en realidad de la forma