Ahora bien, siendo p y q ambos positivos, se deduce que a es mayor que c, y tenemos la cantidad exacta del exceso especificada. Se verá fácilmente que el razonamiento relativo a aquello que es menor que un menor dará como resultado una ecuación de la forma
Todo argumento por desigualdades puede entonces reducirse a la forma de una igualdad; pero el recíproco no es cierto.
No podemos de ningún modo demostrar que dos cantidades son iguales meramente afirmando que ambas son mayores o ambas menores que otra cantidad. A partir de e > f y g > f, o e < f y g < f, no podemos inferir ninguna relación entre e y g. Y si el lector toma las ecuaciones x = y = 3 e intenta demostrar que, por lo tanto, x = 3, convirtiéndolas en desigualdades, descubrirá que le es imposible hacerlo.
De estas consideraciones deduzco que el razonamiento en aritmética o álgebra mediante las llamadas desigualdades no es más que un razonamiento expresado de manera imperfecta mediante igualdades, y cuando queremos exponer exacta y claramente las condiciones del razonamiento, nos vemos obligados a utilizar las igualdades explícitamente.
Del mismo modo que en lógica pura una proposición negativa, al expresar una mera diferencia, no puede ser el medio de inferencia, la desigualdad tampoco puede ser nunca verdaderamente el fundamento de la inferencia. No niego que la afirmación y la negación, el acuerdo y la diferencia, la igualdad y la desigualdad, sean pares de relaciones igualmente fundamentales, pero afirmo que la inferencia solo es posible allí donde la afirmación, el acuerdo o la igualdad —alguna especie de identidad, de hecho— están presentes, explícita o implícitamente.
# Razonamiento Aritmético.
Puede parecer algo inconsistente que sostenga que el número surge de la diferencia o la discriminación, y que, sin embargo, mantenga que ningún razonamiento puede fundamentarse en la diferencia.
El número, por supuesto, abre un amplísimo ámbito para la inferencia, y una breve reflexión muestra que esto se debe a la serie ilimitada de identidades que brotan de la abstracción numérica.
Si seis personas están sentadas en seis sillas, no hay parecido alguno entre las sillas y las personas en su carácter lógico. Pero si pasamos por alto todas las cualidades tanto de una silla como de una persona y simplemente recordamos que existen marcas mediante las cuales cada una de las seis sillas puede distinguirse de las demás, y de igual manera con las personas, entonces surge un parecido entre las sillas y las personas, y este parecido en número puede ser el fundamento de la inferencia.
Si en otra ocasión las sillas vuelven a ser ocupadas por personas, podemos inferir que estas personas se parecen a las anteriores en número, aunque no es necesario que se parezcan a ellas en ningún otro aspecto.
Los grupos de unidades son lo que realmente tratamos en aritmética. El número cinco es en realidad 1 + 1 + 1 + 1 + 1, pero por aras de la concisión sustituimos el signo más compacto 5, o el nombre cinco . Al imponerse estos nombres de manera arbitraria, surge entre ellos una