seleccionar dos cruces de entre tres, en comparación con el número total de maneras en que las monedas pueden quedar dispuestas. Ahora bien, la cuarta línea del Triángulo Aritmético (p. 184) nos da la respuesta. El número total de maneras en que podemos seleccionar o dejar tres cosas es ocho, y las combinaciones posibles de dos cosas a la vez son tres; por lo tanto, la probabilidad de dos cruces es la razón de tres a ocho. A partir de los números del triángulo podemos deducir de manera similar todas las siguientes probabilidades:—
Podemos aplicar las mismas consideraciones a las causas imaginarias de la diferencia de estatura, cuyas combinaciones se mostraron en la pág. 188. Hay en total 128 maneras en que siete causas pueden estar presentes o ausentes.
Ahora bien, veintiuna de estas combinaciones dan un aumento de dos pulgadas, de modo que la probabilidad de que una persona, dadas las circunstancias, mida cinco pies y dos pulgadas es de 21/128. La probabilidad de cinco pies y tres pulgadas es de 35/128; la de cinco pies y una pulgada, de 7/128; la de cinco pies, de 1/128, y así sucesivamente.
Así, la octava línea del triángulo aritmético da todas las probabilidades que surgen de las combinaciones de siete causas.
# Rules for the Calculation of Probabilities.
Ahora explicaré del modo más sencillo posible las reglas para calcular probabilidades. La regla principal es la siguiente:—
Calcula el número de sucesos que pueden ocurrir independientemente unos de otros y que, por lo que se sabe, son igualmente probables. Haz de este número el denominador de una fracción, y toma como numerador el número de tales sucesos que implican o constituyen la ocurrencia del suceso cuya probabilidad se requiere.
Así, si las letras de la palabra Roma se arrojan casualmente en una hilera, ¿cuál es la probabilidad de que formen una palabra latina con significado? Las ordenaciones posibles de cuatro letras son 4 × 3 × 2 × 1, es decir, 24 en número (p. 178), y si se examinan todas las ordenaciones, se hallará que siete de ellas tienen significado, a saber: Roma, ramo, oram, mora, maro, armo y amor. De ahí que la probabilidad de un resultado significativo sea 7/24.
Debemos distinguir las probabilidades comparativas de las absolutas. Al sacar una carta al azar de una baraja, no hay razón para esperar una carta más que cualquier otra. Ahora bien, hay cuatro reyes y cuatro reinas en una baraja, de modo que hay exactamente tantas maneras de sacar uno como la otra, y las probabilidades son iguales. Pero hay trece diamantes, por lo que la probabilidad de un rey es a la de un diamante como cuatro a trece. Así, las probabilidades de cada uno son proporcionales a sus respectivos números de maneras de suceder. Por otra parte, puedo sacar un rey de cuatro maneras, y no sacarlo de cuarenta y ocho, de modo que las probabilidades están en esta proporción, o, como se dice comúnmente, las ventajas (o proporciones) en contra de sacar un rey son de cuarenta y ocho a cuatro. *