CAPÍTULO X. LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD.

de cara en la primera tirada, sumada a la probabilidad exclusiva de que, si no sale en la primera, saldrá en la segunda.

Las mayores dificultades de la teoría surgen de la confusión entre alternativas exclusivas y no exclusivas. Puedo recordar al lector que la posibilidad de alternativas no exclusivas fue un punto discutido previamente (p. 68), y a las razones dadas entonces para considerar la alternancia como lógicamente no exclusiva, puede añadirse la existencia de estas dificultades en la teoría de la probabilidad. El resultado erróneo explicado anteriormente surgió en realidad de pasar por alto el hecho de que la expresión «cara en el primer lanzamiento o cara en el segundo lanzamiento» podría incluir el caso de obtener cara en ambos lanzamientos.

# El alfabeto lógico en cuestiones de probabilidad.

Cuando se dan las probabilidades de ciertos eventos simples, y se requiere deducir las probabilidades de eventos compuestos, el Alfabeto Lógico puede brindar asistencia, siempre que no existan condiciones lógicas especiales de modo que todas las combinaciones sean posibles.

Así, si hay tres eventos, A, B, C, cuyas probabilidades son α, β, γ, entonces las negaciones de esos eventos, que expresan la ausencia de los mismos, tendrán las probabilidades 1 - α, 1 - β, 1 - γ.

No tenemos más que insertar estos valores para las letras de las combinaciones y multiplicar, y obtenemos la probabilidad de cada combinación. Así, la probabilidad de ABC es αβγ; la de Abc, α(1 - β)(1 - γ).

Ahora podemos distinguir claramente entre las probabilidades de sucesos excluyentes y no excluyentes. Así, si A y B son sucesos que pueden ocurrir juntos como la lluvia y la marea alta, o un terremoto y una tormenta, la probabilidad de que ocurra A o B no es la suma de sus probabilidades separadas.

Pues según las Leyes del Pensamiento desarrollamos A ꖌ B en AB ꖌ Ab ꖌ aB, y sustituyendo $\alpha$ y $\beta$, las probabilidades de A y B respectivamente, obtenemos $\alpha .\beta +\alpha .(1-\beta )+(1-\alpha ).\beta$ o $\alpha +\beta -\alpha .\beta$.

Pero si los sucesos son incomponibles o incapaces de ocurrir juntos, como un cielo despejado y la lluvia, o una luna nueva y una luna llena, entonces los sucesos no son realmente A o B, sino A no-B, o B no-A, o en símbolos Ab ꖌ aB. Ahora bien, si tomamos $\mu$ = probabilidad de Ab y $\nu$ = probabilidad de aB, entonces podemos sumar simplemente, y la probabilidad de Ab ꖌ aB es $\mu +\nu$.

Que el lector observe detenidamente que si la combinación AB no puede existir, la probabilidad de Ab no es el producto de las probabilidades de A y b.

Cuando ciertas combinaciones son lógicamente imposibles, ya no está permitido sustituir la probabilidad de cada término por el término, porque la multiplicación de probabilidades presupone la independencia de los eventos.

Una gran parte de Las leyes del pensamiento de Boole está dedicada a intentar superar esta dificultad y a producir un Método General en Probabilidades mediante el cual, a partir de ciertas condiciones lógicas y ciertas probabilidades dadas, fuera posible deducir la probabilidad de cualquier otra combinación de acontecimientos bajo dichas condiciones.