Existen de nuevo relaciones geométricas que no podemos determinar con exactitud, but can carry to any desirable degree of approximation.
La razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo es la de 3,14159265358979323846... a 1, y la aproximación puede llevarse hasta cualquier extremo mediante el gasto de suficiente trabajo. El Sr. W. Shanks ha dado el valor de esta constante natural, conocida como , con una extensión de 707 cifras decimales.15
Hace algunos años, me entretuve intentando ver cuán cerca podía llegar a esta razón mediante el uso cuidadoso del compás, y no me acerqué a más de 1 parte en 540. Podríamos imaginar mediciones ejecutadas con tanta precisión como para darnos ocho o diez decimales correctos. Pero el poder de las manos y los sentidos debe detenerse pronto, mientras que las facultades mentales del razonamiento deductivo pueden avanzar hacia un grado ilimitado de aproximación.
Las verdades geométricas, por tanto, son incapaces de verificación; y, si es así, ni siquiera pueden aprenderse mediante la observación. ¿Cómo puedo haber aprendido mediante la observación una proposición de la cual ni siquiera puedo probar la verdad mediante la observación, cuando ya estoy en posesión de ella? Todo lo que la observación o la prueba empírica pueden hacer es sugerir proposiciones cuya verdad pueda comprobarse posteriormente de forma deductiva.
Si hemos de dar crédito a la historia de Viviani, Galileo se esforzó por cerciorarse acerca del área de la cicloide recortando varias cicloides grandes en cartón y comparando luego las áreas de la curva y del círculo generatriz mediante su pesaje. En cada intento, la curva pareció ser algo menor que tres veces el círculo, de modo que se nos dice que Galileo comenzó a sospechar que la proporción no era exactamente de 3 a 1. Está muy claro, sin embargo, que ningún procedimiento de pesaje o medición podría probar jamás verdades como estas, y correspondió a Torricelli demostrar lo que su maestro Galileo solo había intuido.16
Mucho se ha dicho sobre la peculiar certeza del razonamiento matemático, pero no es más que la certeza del razonamiento deductivo, y una certeza igual acompaña a toda deducción lógica correcta.
Si un triángulo es rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa equivaldrá indudablemente a la suma de los dos cuadrados de los otros lados; pero nunca puedo estar seguro de que un triángulo sea rectángulo: así como puedo estar seguro de que el ácido nítrico no disolverá el oro, siempre que sepa que las sustancias empleadas corresponden realmente a aquellas con las que hice el experimento anteriormente.
He aquí una idéntica certeza de inferencia, e idéntica duda en cuanto a los hechos.