Supongamos que una observación determinada está sujeta a cuatro posibilidades de error, cada una de las cuales aumentará el resultado una pulgada si ocurre. Cada uno de estos errores debe considerarse como un evento independiente del resto y podemos por lo tanto asignar, según la teoría de la probabilidad, la probabilidad comparativa y la frecuencia de cada conjunción de errores. Del Triángulo Aritmético (págs. 182–188) aprendemos que ningún error en absoluto puede ocurrir de una sola manera; un error de una pulgada puede ocurrir de 4 maneras; y las maneras en que ocurren los errores de 2, 3 y 4 pulgadas respectivamente, serán 6, 4 y 1 en número.
Podemos inferir que el error de dos pulgadas es el que tiene más probabilidades de ocurrir, y a la larga ocurrirá en seis casos de dieciséis. Los errores de una y tres pulgadas serán igualmente probables, pero ocurrirán con menor frecuencia; mientras que ningún error en absoluto, o uno de cuatro pulgadas, será un acontecimiento comparativamente raro. Si ahora suponemos que los errores actúan tanto en una dirección como en la otra, el efecto será alterar el error promedio en una cantidad de dos pulgadas, y obtendremos los siguientes resultados:—
| Error negativo de 2 pulgadas | 1 | camino. |
|---|---|---|
| Error negativo de 1 pulgada | 4 | maneras. |
| Ningún error en absoluto | 6 | maneras. |
| Error positivo de 1 pulgada | 4 | maneras. |
| Error positivo de 2 pulgadas | 1 | camino. |
Podemos imaginar ahora aumentado el número de causas de error y disminuida la cuantía de cada error, y el triángulo aritmético nos dará la frecuencia de los errores resultantes. Así, si hay cinco causas positivas de error y cinco negativas, la siguiente tabla muestra el número de errores de diversas cuantías que serán el resultado:—
| Dirección del Error. | Error positivo. | Error negativo. | |
|---|---|---|---|
| Margen de error. | 5, 4, 3, 2, 1 | 0 | 1, 2, 3, 4, 5 |
| Número de dichos Errores. | 1, 10, 45, 120, 210 | 252 | 210 120, 45, 10, 1 |
Es evidente que a partir de tales números puedo determinar la probabilidad de cualquier cantidad particular de error bajo las condiciones supuestas. La probabilidad de un error positivo de exactamente una pulgada es 210/1024, fracción en la cual el numerador es el número de combinaciones que dan un error positivo de una pulgada, y el denominador el número total de errores posibles de todas las magnitudes.
También puedo, sumando los números apropiados, obtener la probabilidad de que un error no exceda cierta cantidad. Así, la probabilidad de un error de tres pulgadas o menos, positivo o negativo, es una fracción cuyo numerador es la suma de 45 + 120 + 210 + 252 + 210 + 120 + 45, y el denominador, como antes, dando como resultado 1002/1024.
Podemos ver de inmediato que, de acuerdo con estos principios, la probabilidad de los errores pequeños es mucho mayor que la de los grandes:
- la probabilidad es de 1002 a 22, o de más de 45 a 1, de que el error no exceda las tres pulgadas;
- y la probabilidad es de 1022 a 2 contra la ocurrencia del mayor error posible de cinco pulgadas.