Del mismo modo, si queremos calcular el número de maneras en que los ocho planetas principales pueden entrar en conjunción, es evidente que pueden reunirse de dos en dos, o de tres en tres, o de cuatro o más a la vez, y como no se dice nada sobre el orden relativo o el lugar en la conjunción, necesitamos el número de combinaciones. Ahora bien, una selección de 2 de entre 8 es posible de 8 . 7/1 . 2 o 28 maneras; de 3 de entre 8, de 8 . 7 . 6/1 . 2 . 3 o 56 maneras; de 4 de entre 8, de 8 . 7 . 6 . 5/1 . 2 . 3 . 4 o 70 maneras; y puede demostrarse de manera similar que para 5, 6, 7 y 8 planetas reunidos al mismo tiempo, los números de maneras son 56, 28, 8 y 1. Así hemos resuelto toda la cuestión de la variedad de conjunciones de ocho planetas; y sumando todos los números, encontramos que 247 es el máximo número posible de modos de reunión.
En el lenguaje algebraico general, podemos decir que se puede elegir un grupo de m cosas de un número total de n cosas, en un número de combinaciones denotado por la fórmula
La extrema importancia y significado de esta fórmula parece haber sido reconocida adecuadamente por primera vez por Pascal, aunque su descubrimiento le es atribuido por él a un amigo, M. de Ganières.6
La encontraremos reapareciendo perpetuamente en cuestiones tanto de combinaciones como de probabilidad, y a lo largo de las fórmulas del análisis matemático se pueden notar indicios de su influencia.
# El triángulo aritmético.
El Triángulo Aritmético es un nombre dado desde hace mucho tiempo a una serie de números notables relacionados con el tema que estamos tratando. Según Montucla7, «este triángulo es en la teoría de las combinaciones y los cambios de orden casi lo que la tabla de Pitágoras es en la aritmética ordinaria, es decir, coloca de inmediato ante los ojos los números requeridos en una multitud de casos de esta teoría».
Ya en 1544, Stifels había advertido las notables propiedades de estos números y el modo de su evolución. Briggs, el inventor del sistema común de logaritmos, quedó tan impresionado por su importancia que los llamó el Abacus Panchrestus.
Pascal, sin embargo, fue el primero en escribir un tratado específico sobre estos números y en darles el nombre por el que todavía se les conoce. Pero Pascal no agotó en absoluto el tema, y correspondió a Jacobo Bernoulli demostrar plenamente la importancia de los números figurados, como también se les llama. En su tratado De Arte Conjectandi, señala su aplicación en la teoría de combinaciones y probabilidades, y observa sobre el Triángulo Aritmético: «No solo contiene la clave de la misteriosa doctrina de las combinaciones, sino que es también la base o fundamento de la mayoría de los descubrimientos importantes y abstrusos que se han realizado en las demás ramas de las matemáticas».8
Los números del triángulo pueden calcularse de un modo muy sencillo mediante adiciones sucesivas. Comenzamos con la unidad en el vértice; en la siguiente línea colocamos una segunda unidad a la derecha de esta; para obtener la tercera línea de cifras desplazamos la línea anterior un lugar hacia la derecha y las sumamos a las mismas cifras que antes del desplazamiento; podemos repetir entonces el mismo proceso ad infinitum. La cuarta línea de cifras, por ejemplo, contiene 1, 3, 3, 1; desplazándolas un lugar y sumando según lo indicado obtenemos:—