mostrando que la suposición contraria conduce inevitablemente a una contradicción.2 Muchas otras demostraciones en diversas ramas de las ciencias matemáticas proceden según un método similar. Ahora bien, si hay tan solo una verdad importante que debe ser, y solo puede ser, demostrada indirectamente, podemos decir que el proceso es necesario y suficiente, y la cuestión de su excelencia o utilidad comparativa no merece ser discutida. De hecho, creo que casi la mitad de nuestras conclusiones lógicas descansan en su empleo.
Ilustraciones simples.
Al trazar los poderes y resultados de este método, comenzaremos con el ejemplo más simple posible. Tomemos una proposición de la forma común, , por ejemplo, yanquemos investiguemos su significado completo. Cualquier persona que tenga la más mínima formación lógica es consciente de que podemos extraer de la proposición anterior otra aparentemente diferente, a saber,
Mientras que algunos lógicos, como por ejemplo De Morgan,3 han considerado que la relación entre estas dos proposiciones es puramente evidente por sí misma, y que no necesita ni permite análisis, muchísimas más personas, según he observado al enseñar lógica, son incapaces al principio de percibir la estrecha conexión entre ellas. Creo que un sistema de lógica verdadero y completo proporcionará un claro análisis de este proceso, que ha sido llamado Conversión por contraposición; el proceso completo es el siguiente:—
En primer lugar, por la Ley de la Dualidad sabemos que
Si es metal, sabemos por la premisa que es un elemento; estaríamos suponiendo así que una misma cosa es un elemento y un no-elemento, lo cual se opone a la Ley de la Contradicción. Según la única otra alternativa, por lo tanto, el no-elemento debe ser un no-metal.
Para representar este proceso de inferencia simbólicamente, tomamos la premisa en la forma
A = AB. (1)
Observamos que por la Ley de Dualidad el término no-B se describe así
b = A b ꖌ ab . (2)
Para A en esta proposición sustituimos su descripción tal como se da en (1), obteniendo
Pero según la Ley de la Contradicción, el término ABb debe excluirse del pensamiento, o
De donde resulta que b o bien no es nada en absoluto, o es ab; y la conclusión es
Como con frecuencia será necesario referirse a una conclusión de esta clase, la llamaré, como es habitual, la Proposición Contrapuesta de la original. Apenas es necesario advertir al lector que de que todos los A son B no se sigue que todos los no-A no sean no-B.
Pues por la Ley de Dualidad tenemos y no será posible hacer ninguna sustitución en esto mediante nuestra premisa original A = AB. Sigue siendo dudoso, por lo tanto, si el no-metal es elemento o no-elemento.