de esa otra.* En este axioma resumimos una serie de axiomas que han sido enunciados con mayor o menor detalle por los algebristas. Así, «Si se suman cantidades iguales a cantidades iguales, las sumas serán iguales». Para explicar esto, que
Ahora a + c, sea lo que sea lo que signifique, debe ser idéntico a sí mismo, de modo que
En uno de los miembros de esta ecuación, sustitúyanse las cantidades por sus equivalentes, y tendremos demostrado el axioma
El axioma similar relativo a la sustracción es igualmente evidente, pues sea lo que fuere lo que a - c pueda significar, es igual a a - c, y por consiguiente, mediante sustitución, a b - d. De nuevo: «si cantidades iguales son multiplicadas por las mismas o iguales cantidades, los productos serán iguales». Pues evidentemente y si por c en un miembro sustituimos su igual d, tenemos y una segunda sustitución similar nos da
Podríamos demostrar un axioma semejante respecto a la división de un modo exactamente igual. Podría incluso ampliar la lista de axiomas y decir que «Las potencias iguales de números iguales son iguales». Pues ciertamente, sea lo que fuere lo que a × a × a pueda significar, es igual a a × a × a; por consiguiente, según nuestra habitual sustitución, es igual a b × b × b. Lo mismo será aplicable a las raíces de los números y c√a = d√b siempre que las raíces se tomen de tal modo que la raíz de a esté verdaderamente relacionada con a como la raíz de b lo está con b.
La ambigüedad de significado de una operación fracasa así en modo alguno a la hora de quebrantar la universalidad del principio. Podemos ir más allá y afirmar que, no solo las relaciones comunes anteriores, sino todas las demás relaciones matemáticas conocidas o concebibles obedecen al mismo principio.
Sea Qa la denotación, de la manera más general, de que hacemos algo con la cantidad a; entonces, si a = b, se sigue que