límite aparente para la expansión definitiva de la ciencia cuantitativa. Pero el lector no debe suponer ni por un momento que, por el hecho de depender cada vez más de los métodos matemáticos, dejamos atrás los métodos lógicos. El número, como he procurado demostrar, es lógico en su origen, y la cantidad no es sino un desarrollo del número, o algo análogo a este.
# División del Asunto.
El tema general de la investigación cuantitativa tendrá que dividirse en varias partes.
Consideraremos en primer lugar los medios de que disponemos para medir los fenómenos y hacerlos así más o menos susceptibles de tratamiento matemático. Esta tarea implicará un análisis de los principios en los que se fundamentan los métodos precisos de medición, lo cual constituirá el tema del resto del presente capítulo.
Sin embargo, como la medición solo arroja razones, en el siguiente capítulo debemos considerar el establecimiento de magnitudes unitarias, en cuyos términos puedan expresarse nuestros resultados.
Como cada fenómeno es por lo general la suma de varias cantidades distintas que dependen de diferentes causas, a continuación debemos investigar en el capítulo XV los métodos mediante los cuales podemos desentrañar efectos complicados y atribuir cada parte del efecto conjunto a su causa independiente.
Aún nos queda por tratar en los capítulos siguientes de la inducción cuantitativa, propiamente dicha. Debemos seguir el método lógico inverso, tal como se presenta en problemas de un grado de dificultad mucho mayor que aquellos que tratan de objetos relacionados de un modo lógicamente simple, e incapaces de fundirse entre sí por adición y sustracción.
Cantidad Continua.
Los fenómenos de la naturaleza se manifiestan en su mayor parte en cantidades que aumentan o disminuyen de forma continua.
Cuando investigamos el significado preciso de cantidad continua, descubrimos que solo puede describirse como aquello que es divisible sin límite. Podemos dividir un milímetro en diez, o cien, o mil, o diez mil partes, y mentalmente al menos podemos continuar la división ad infinitum.
Cualquier espacio finito, por tanto, debe concebirse como compuesto por un número infinito de partes, cada una infinitamente pequeña. No podemos concebir las nociones geométricas más simples sin admitir esto. La concepción de un cuadrado implica la concepción de un lado y una diagonal, los cuales, como demuestra bellamente Euclides en la proposición 117 de su décimo libro, no tienen medida común,3 es decir, ninguna medida común finita.
Las cantidades incomensurables son, de hecho, aquellas que tienen por única medida común una cantidad infinitamente pequeña. Resulta asimismo un tanto sorprendente descubrir que, en teoría, las cantidades incomensurables serán infinitamente más frecuentes que las comensurables. Trásense dos líneas cualesquiera al azar; es infinitamente improbable que sean comensurables, de modo que las cantidades comensurables, con las que se supone que tratamos en la práctica, no son sino casos singulares entre un número infinitamente mayor de casos incomensurables.