El lector podría verse tentado a pensar que en estos procesos de cálculo poseemos un método infalible para descubrir leyes inductivas, y que mis afirmaciones anteriores (cap. VII.) sobre el carácter puramente tentativo e inverso del proceso inductivo quedan refutadas.
Si existiera realmente algún método general para inferir leyes a partir de los hechos, ello anularía mi afirmación, pero debe observarse cuidadosamente que estas fórmulas empíricas no coinciden con las leyes naturales. Son solo aproximaciones a los resultados de las leyes naturales basadas en los principios generales de aproximación.
Ya se ha señalado que, por muy complicada que sea la naturaleza de una curva, podemos examinar una porción tan pequeña de ella, o podemos examinarla con medios de medición tan rudimentarios, que su divergencia respecto a una curva elíptica no será aparente. Como una aproximación aún más rudimentaria, un trozo de línea recta siempre servirá a nuestro propósito; pero si necesitamos mayor precisión, una curva de tercer o cuarto grado será casi con certeza suficiente.
Ahora bien, las fórmulas empíricas representan en realidad estas curvas aproximadas, pero no nos ofrecen información alguna sobre la naturaleza precisa de la curva misma a la que nos estamos aproximando. No averiguamos qué función es la variante de la variable, sino que obtenemos otra función que, dentro de los límites de la observación, arroja valores muy similares.
# Descubrimiento de Fórmulas Racionales.
Pasemos ahora a considerar los modos en que, a partir de resultados numéricos, podemos establecer la relación real entre la cantidad de la causa y la del efecto.
Lo que buscamos es una fórmula o función racional, que muestre la razón o la naturaleza exacta y el origen de la ley en cuestión.
No hay palabra más frecuentemente utilizada por los matemáticos que la palabra función, y sin embargo es difícil definir su significado con perfecta precisión.
Originalmente significaba cumplimiento o ejecución, siendo equivalente al griego λειτουργία o τέλεσμα. Los matemáticos la usaron al principio para significar cualquier potencia de una cantidad, pero después la generalizaron de modo que incluyera «cualquier cantidad formada de cualquier manera posible a partir de otra cantidad».7
Cualquier cantidad, por tanto, que dependa de otra cantidad y varíe con ella puede llamarse función de esta, y cualquiera de ambas puede considerarse función de la otra.
Dadas las cantidades, queremos la función de la cual son los valores. La simple inspección de los números no puede, por regla general, revelar la función. En un capítulo anterior (p. 124) presenté al lector ciertos números, y le pedí que señalara la ley a la que obedecen, y la misma pregunta habrá de plantearse en cada caso de inducción cuantitativa. Hay quizá tres métodos, más o menos distintos, mediante los cuales podemos esperar obtener una respuesta:
(1) Mediante un ensayo puramente fortuito.